PDF de una suma de variables dependientes

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Esta es una continuación directa de mi pregunta reciente . Lo que realmente quiero obtener es la distribución de , donde son uniformes en . Ahora, la distribución de se calculó con éxito en el hilo mencionado , y llamémosla . La distribución de es simplemente . El último paso sería calcular la distribución de la suma de e de manera similar a la anterior , pero e $a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $a,b,c,d$ $[0,1]$ $(a-d)^2+4bc$ $h(x)$ $\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $h(x^2)\cdot 2x$ $X=a+d$ $Y=\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $X$ $Y$ no son independientes, y ahora estoy atascado y ni siquiera sé por dónde empezar.

Puede ser útil notar que $\sqrt{(a-d)^2+4bc}=\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}$ y en este último los componentes debajo de la raíz (es decir, $X^2=(a+d)^2$ y $W=-4(ad-bc)$ ) son fáciles de calcular. Entonces, estoy interesado en la distribución de $X+\sqrt{X^2+W}$ , conociendo las distribuciones de $X$ y $\sqrt{X^2+W}$ .

No veo ningún cambio útil de variables. Pensé en usar la probabilidad condicional, pero ¿cómo puedo encontrar $f(\sqrt{X^2+W}\Big|X)$ ? Puede que esté demasiado adelantado y tal vez tenga que retroceder unos pasos.

¿Es posible calcular algo como esto?

La distribución resultante debería verse así: ingrese la descripción de la imagen aquí

EDITAR: La respuesta aceptada da la solución que estaba buscando, sin embargo, todavía tengo curiosidad por saber cómo derivarla analíticamente. Quiero decir, en mi pregunta anterior , el CDF se dio como una integral:

$\int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy$

con $F$ y $g$ dado por funciones simples. Teóricamente, eso podría integrarse con lápiz y papel. Por supuesto, usar software es natural. Sin embargo, todavía tengo curiosidad sobre cómo dar una respuesta de forma cerrada aquí. la respuesta de los lobos suena una campana, pero ... ¿Una convolución de tres archivos PDF de una función (relativamente) complicada?

— corey979
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Encuentra el pdf de: $\quad A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}, \quad$ dónde $A,B,C,D$ son iid $Uniform(0,1)$

Dejar $U = 4 BC$ , dónde $U$ tiene pdf: $\quad g(u) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{4}{u}\right) \quad \text{for } 0<u<4$ .

Esto reduce el problema de 4 a 3 variables aleatorias independientes. Luego, por independencia, el pdf conjunto de $(A,D,U)$ es $f(a,d,u)$ :

Dejar $Z = A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}$ . El cdf de $Z$ es $P(Z<z)$ :

donde estoy usando la Probfunción del paquete mathStatica para Mathematica para automatizar los detalles esenciales.

El pdf de $Z$ es simplemente la derivada de este último wrt $z$ , que produce la solución:

Todo listo.

Aquí hay una gráfica del pdf teórico exacto de $Z$ :

Cheque Monte Carlo

El siguiente diagrama compara una aproximación empírica de Monte Carlo del pdf (azul ondulado) con el pdf teórico derivado arriba (guión rojo). Se ve bien.

— lobos
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¡Ordenado! Aunque no tengo MathStatica, logré hacerlo directamente en Mathematica. Esto responde a mi pregunta bastante completamente, pero todavía tengo curiosidad de cómo hacerlo sin una computadora, de una manera similar a mi pregunta anterior. Allí, Whuber dio la integral de manera explícita y teórica que podría calcularse con un lápiz y papel. Por supuesto, usar software es natural, pero ¿cómo debo proceder en el caso actual?

— corey979

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Abramowitz y Stegun? ;)

— wolfies 01 de

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Bueno, ya sabes las integrales que deben evaluarse, por lo que es solo una cuestión de evaluarlas. En los días previos teníamos sistemas de álgebra computacional, cuando nos enfrentamos a tareas de integración desagradables y complicadas fuera de lo común, normalmente nos dirigíamos a tablas de integrales como Abramowitz y Stegun.

— Wolfies 01 de

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Justo después de leer la respuesta de Wolfies, entendí que podía calcular la distribución final desde el principio sin todos los pasos intermedios:

M[x_] := M[x] = Evaluate@FullSimplify@ Integrate[ Boole[a + d + Sqrt[(a - d)^2 + 4 b c] <= x], {a, 0, 1}, {b, 0, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}] da el CDF y

m[x_] := m[x] = Evaluate@FullSimplify@D[M[x], x] da el PDF que funciona perfecto con mi simulación:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Esto utiliza directamente el enfoque de una respuesta a mi pregunta anterior.

— corey979
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Sí, eso funciona muy bien aquí. Pero curiosamente, NO parece funcionar para su problema original (más simple). Es decir, Integrate[ Boole[(a-d)^2 + 4 b c < x], {a,0,1}, {b,0,1}, {c,0,1}, {d,0,1}]devuelve una integral no evaluada.

— Wolfies 01 de