Una pregunta relacionada con Borel-Cantelli Lemma

Nota:

Borel-Cantelli Lemma dice que

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Luego,

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

utilizando Borel-Cantelli Lemma

Quiero mostrar eso

en primer lugar,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ existe

y en segundo lugar,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Por favor, ayúdame a mostrar estas dos partes. Gracias.

— B11b
fuente

No, el lema de Borel-Cantelli no dice (todo) que, al menos, no sin más suposiciones.

— cardenal

@cardinal bien, ¿cómo puedo mostrar estas dos declaraciones? por favor me lo puedes explicar? No tengo idea suficiente. me alegraré si muestra una forma de solución :) gracias

— B11b

Se agregó una "suposición adicional".

— Zen

Nota de menor importancia: Como se ha mencionado aquí , por ejemplo, podemos llegar a funcionar con sólo la independencia por pares de la en la segunda parte del lema

A_{n}

$A_n$

— JLD

Ninguna de las afirmaciones es cierta.

Sea la posibilidad de que salga cara en un lanzamiento de moneda, con probabilidad cuando es impar y cuando es par. Luego: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

Sin embargo, claramente no existe. Lo mejor que puede concluir es . $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— Alex R.
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