Si son beta independientes, entonces show también es beta

Aquí hay un problema que surgió en un examen semestral en nuestra universidad hace unos años y que estoy luchando por resolver.

Si son variables aleatorias independientes con densidades y respectivamente, entonces demuestre que sigue a . $X_1,X_2$ $\beta$ $\beta(n_1,n_2)$ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

Utilicé el método jacobiano para obtener que la densidad de es la siguiente: $Y=\sqrt{X_1X_2}$

F_{Y} (y) = \frac{4 4 y^{2 {norte}_{1}}}{si ({norte}_{1}, {norte}_{2}) si ({norte}_{1} + \frac{1}{2}, {norte}_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{X^{2}} (1 - X^{2})^{{norte}_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{X^{2}})^{{norte}_{2} - 1} re X

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

Estoy perdido en este punto en realidad. Ahora, en el artículo principal, descubrí que se había proporcionado una pista. Traté de usar la pista pero no pude obtener las expresiones deseadas. La pista es literal de la siguiente manera:

Sugerencia: obtenga una fórmula para la densidad de en términos de las densidades dadas de y e intente usar un cambio de variable con . $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ $z=\dfrac{y^2}{x}$

Entonces, en este punto, trato de hacer uso de esta sugerencia considerando este cambio de variable. Por lo tanto, obtengo, que después de la simplificación resulta ser (escribir para )

F_{Y} (y) = \frac{4 4 y^{2 {norte}_{1}}}{si ({norte}_{1}, {norte}_{2}) si ({norte}_{1} + \frac{1}{2}, {norte}_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4 4}} (1 - \frac{y^{4 4}}{z^{2}})^{{norte}_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4 4}})^{{norte}_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} re z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

F_{Y} (y) = \frac{4 4 y^{2 {norte}_{1}}}{si ({norte}_{1}, {norte}_{2}) si ({norte}_{1} + \frac{1}{2}, {norte}_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4 4}}{X^{2}})^{{norte}_{2} - 1} (1 - \frac{X^{2}}{y^{2}})^{{norte}_{2} - 1} re X

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

Realmente no sé cómo proceder. Ni siquiera estoy seguro de estar interpretando la pista correctamente. De todos modos, aquí va el resto de la pista:

Observe que al usar el cambio de la variable , la densidad requerida se puede expresar de dos maneras para obtener promediando Ahora divida el rango de integración en y y escriba y continúe con . $z=\dfrac{y^2}{x}$
$F_{Y} (y) = C o norte s t una norte t . y^{2 {norte}_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{X})^{{norte}_{2} - 1} (1 - X)^{{norte}_{2} - 1} (1 + \frac{y}{X}) \frac{1}{\sqrt{X}} re X$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

Bueno, sinceramente, no puedo entender cómo se pueden usar estas sugerencias: parece que no estoy llegando a ninguna parte. La ayuda es apreciada. Gracias por adelantado.

— Landon Carter
fuente

He visto un problema similar antes del cual había compilado algunas referencias. Ver arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/…

— Sid

@Sid Lo siento, pero no pude encontrar este problema en esas referencias ni nada similar. ¿Podría señalar amablemente los lugares? ¡¡Gracias!!

— Landon Carter

¿Estás seguro de que aplicaste el método jacobiano correctamente? Si lo hago, obtengo: Creo que también necesitarás duplicar fórmula , consulte en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

F_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 {norte}_{1} - 1}}{si ({norte}_{1}, {norte}_{2}) si ({norte}_{1} + 0,5, {norte}_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{X}} [(1 - \frac{y^{2}}{X}) (1 - X)]^{{norte}_{1} - 1} re X

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

— StijnDeVuyst el

Aparentemente parece que las fórmulas son las mismas. Quizás tenga que usar el cambio de la variable en su fórmula para obtener la mía. Estoy hablando del jacobiano.

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

— Landon Carter

No creo que sean iguales. Al hacer el cambio de variable que mencionas en mi fórmula, obtengo algo un poco más simple que lo que tienes en la primera integral de tu OP.

— StijnDeVuyst

Probaría esto de una manera diferente, usando funciones generadoras de momentos. O lo que es equivalente, al mostrar que la ª momento de es igual a la ª momento de una variable aleatoria con distribución. Si esto es así para todos , entonces, por la fuerza del problema del momento, el ejercicio está probado. $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

Para la última parte, se obtiene a partir http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments que el ª momento de es Ahora para la primera parte: $q$ $B$

mi [{si}^{q}] = \prod_{j = 0 0}^{q - 1} \frac{2 {norte}_{1} + j}{2 {norte}_{1} + 2 {norte}_{2} + j} = ... = \frac{Γ (2 {norte}_{1} + q) Γ (2 {norte}_{1} + 2 {norte}_{2})}{Γ (2 {norte}_{1}) Γ (2 {norte}_{1} + 2 {norte}_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

mi [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q} F_{X_{1}} (X_{1}) F_{X_{2}} (X_{2}) re X_{1} re X_{2} = \int X^{q / / 2} F_{X_{1}} (X_{1}) re X_{1} \cdot \int X_{2}^{q / / 2} F_{X_{2}} (X_{2}) re X_{2} = \frac{1}{si ({norte}_{1}, {norte}_{2})} \int X_{1}^{{norte}_{1} + q / / 2 - 1} (1 - X_{1})^{{norte}_{2} - 1} re X_{1} \cdot \frac{1}{si ({norte}_{1} + \frac{1}{2}, {norte}_{2})} \int X_{2}^{{norte}_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - X_{2})^{{norte}_{2} - 1} re X_{2} = \frac{si ({norte}_{1} + \frac{q}{2}, {norte}_{2}) si ({norte}_{1} + \frac{q + 1}{2}, {norte}_{2})}{si ({norte}_{1}, {norte}_{2}) si ({norte}_{1} + \frac{1}{2}, {norte}_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ Ahora todo lo que queda es aplicar la definición y luego la fórmula de duplicación . Luego resulta que la primera parte y la segunda parte son exactamente iguales.

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— StijnDeVuyst
fuente

No creo que se pueda decir que la igualdad de momentos implica igualdad de distribución. Hay ejemplos en los que esto puede no ser válido.

— Landon Carter

StijnDeVuyst, lo siento, esta no es una respuesta aceptable. Tengo un ejemplo donde los momentos son iguales pero las distribuciones no son las mismas. Sin embargo, el ejemplo es un poco complicado. Lamentablemente, no tengo el ejemplo conmigo ahora; También vino en un examen semestral. Pero pronto publicaré el ejemplo en este hilo si estás interesado. De todos modos, he resuelto el problema yo mismo. Gracias por tu ayuda.

— Landon Carter

@yedaynara y Stijn: A (? la) ejemplo clásico es debido a Heyde: Considere las pdfs donde es el pdf de el estándar lognormal y . Todos los miembros de esta familia de distribuciones tienen los mismos momentos (de todos los pedidos). Tenga en cuenta que el estándar lognormal es un miembro de esta familia y sus momentos tienen una buena forma cerrada.

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

— cardenal

Sin embargo, existen condiciones adicionales (por ejemplo, Carleman) en los momentos que garantizarán la unicidad de la distribución. Esto se conoce como el problema del momento de la hamburguesa .

— cardenal

Cita de web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/… "... Es el álgebra lineal elemental verificar que una medida positiva con soporte finito está determinada únicamente por sus momentos ..." Eso resuelve el Condición de Carleman para la determinación de M para las distribuciones Beta en la OP. @cardinal y yedaynara tienen razón en que fui demasiado rápido para asumir esto. Pero aparentemente el apoyo finito es lo que salva el día.

— StijnDeVuyst