Distribución del máximo de dos variables normales correlacionadas

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Digamos que tengo dos variables aleatorias normales estándar y que son conjuntamente normales con el coeficiente de correlación . $X_1$ $X_2$ $r$

¿Cuál es la función de distribución de ? $\max(X_1, X_2)$

correlation normal-distribution extreme-value

— Vendetta
fuente

Relacionado: stats.stackexchange.com/questions/173064/… .

— StubbornAtom

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Según Nadarajah y Kotz, 2008 , Distribución exacta del máximo / mínimo de dos variables aleatorias gaussianas , el PDF de parece ser $X = \max(X_1, X_2)$

f (x) = 2 \cdot ϕ (x) \cdot Φ (\frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^{2}}} x),

$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$

donde es el PDF y es el CDF de la distribución normal estándar. $\phi$ $\Phi$

$\hskip2in$ ingrese la descripción de la imagen aquí

— Lucas
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¿Cómo se ve esto si (sin correlación en absoluto)? Tengo problemas para visualizarlo.

r = 0

$r = 0$

— Mitch

3

Agregué una figura visualizando la distribución. Parece un gaussiano exprimido ligeramente sesgado a la derecha.

— Lucas

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Sea el PDF normal bivariado para con marginales estándar y correlación . El CDF del máximo es, por definición, $f_\rho$ $(X,Y)$ $\rho$

Pr (max (X, Y) \leq z) = Pr (X \leq z, Y \leq z) = \int_{- \infty}^{z} \int_{- \infty}^{z} f_{ρ} (x, y) d y d x .

$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$

El PDF normal bivariado es simétrico (por reflexión) alrededor de la diagonal. Por lo tanto, aumentar a agrega dos franjas de probabilidad equivalente al cuadrado semi-infinito original: el superior infinitamente grueso es mientras que su contraparte reflejada, el franja derecha, es . $z$ $z+dz$ $(-\infty, z]\times (z, z+dz]$ $(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

Figura

La densidad de probabilidad de la franja derecha es la densidad de en veces la probabilidad condicional total de que esté en la franja, . La distribución condicional de siempre es Normal, por lo que para encontrar esta probabilidad condicional total solo necesitamos la media y la varianza. La media condicional de en es la predicción de regresión y la varianza condicional es la varianza "inexplicada" . $X$ $z$ $Y$ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$ $Y$ $Y$ $X$ $\rho X$ $\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Ahora que conocemos la media y la varianza condicionales, se puede obtener el CDF condicional de dado estandarizando y aplicando el estándar Normal CDF : $Y$ $X$ $Y$ $\Phi$

Pr (Y \leq y | X) = Φ (\frac{y - ρ X}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) .

$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$

La evaluación de esto en y y la multiplicación por la densidad de en (un estándar normal pdf ) da la densidad de probabilidad de la segunda franja (derecha) $y=z$ $X=z$ $X$ $z$ $\phi$

ϕ (z) Φ (\frac{z - ρ z}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) = ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$

Duplicar esto explica la franja superior equi-probable, dando el PDF del máximo como

\frac{d}{d z} Pr (max (X, Y) \leq z) = 2 ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$

Recapitulación

He coloreado los factores para indicar sus orígenes: para las dos tiras simétricas; para los anchos de tira infinitesimales; y para las longitudes de la tira. El argumento de este último, , es solo una versión estandarizada de condicional en . $\color{blue}2$ $\color{black}{\phi(z)}$ $\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$ $\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$ $Y=z$ $X=z$

— whuber
fuente

¿Se puede extender a más de dos variables normales estándar con una matriz de correlación dada?

— A. Donda

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@ A.Donda Sí, pero la expresión se vuelve más complicada. Con cada nueva dimensión viene la necesidad de integrarse una vez más.

— whuber