¿Qué converge más rápido, medio o mediano?

Si dibujo las variables iid de N (0,1), ¿la media o la mediana convergerán más rápido? ¿Cuanto más rápido?

Para ser más específico, dejemos que sean una secuencia de variables iid extraídas de N (0,1). Defina , y para ser la mediana de . ¿Qué converge a 0 más rápido, o ? $x_1, x_2, \ldots$ $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ $\tilde{x}_n$ $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ $\{\bar{x}_n\}$ $\{\tilde{x}_n\}$

Para concretar lo que significa converger más rápido: ¿existe ? Si es así, ¿qué es? $\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median

— Josh Brown Kramer
fuente

¿Pregunta sobre la convergencia en la probabilidad de una estimación puntual con respecto al parámetro de población? ¿O está preguntando acerca de la convergencia en la distribución de una variable aleatoria?

— Ryan Simmons

Por "converger más rápido a 0", ¿quiere decir "que tiene la varianza asintótica más pequeña" o algo más?

— Glen_b: reinstala a Monica

@Glen_b Hasta cierto punto, esto está motivado por un problema real: la mediana es más robusta frente a los valores atípicos, por lo que parece que la mediana de la muestra debería converger más rápidamente que la media a medida que crece el tamaño de la muestra. Realmente no sé cuál es la mejor manera de expresar la tasa de convergencia en esta situación. Para concretar, podría preguntar si

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$ existe y, de ser así, cuál es.

— Josh Brown Kramer

Si los datos se muestrean realmente a partir de una distribución normal, los valores atípicos son extremadamente raros, tan raros que el impacto en la media deja a la media de la muestra como la estimación más eficiente de la media de la población. Pero no necesita una cola pesada variable para que la mediana sea competitiva. Esa proporción que mencionas será de 0,63

— Glen_b: reinstala a Monica

La media y la mediana son las mismas, en este caso particular. Se sabe que la mediana es 64% eficiente como la media, por lo que la media es más rápida de converger. Puedo escribir más detalles, pero wikipedia trata exactamente su pregunta.

— Yair Daon
fuente

¿Tienes una cita?

— Josh Brown Kramer

Laplace, PSde (1818) Suplemento de lujo a la Théorie Analytique des Probabilités , París, Courcier - Laplace proporciona la distribución asintótica tanto para la media como para la mediana. Vea también la sección sobre la varianza de la mediana en Wikipedia

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: (+1) la referencia final !!!

— Xi'an

@Glen_b sí, esa fue una respuesta épica, me reí bastante fuerte. ¡Gracias por eso!

— user541686

@ xi'an, ¿querías escribir que la media y la mediana son la misma cantidad?

— Yair Daon