Intuición para momentos más altos en estadísticas circulares

En las estadísticas circulares, el valor esperado de una variable aleatoria con valores en el círculo se define como (ver wikipedia ). Esta es una definición muy natural, como lo es la definición de la varianza ¡Así que no necesitamos un segundo momento para definir la varianza! $Z$ $S$

{metro}_{1} (Z) = \int_{S} z {PAG}^{Z} (θ) re θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

V un r (Z) = 1 - El | {metro}_{1} (Z) El | .

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

No obstante, definimos los momentos más altos Admito que esto parece bastante natural también a primera vista, y muy similar a la definición en estadística lineal. Pero aún así me siento un poco incómodo, y tengo lo siguiente

{metro}_{norte} (Z) = \int_{S} z^{norte} {PAG}^{Z} (θ) re θ .

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

Preguntas:

1. ¿Qué se mide por los momentos superiores definidos anteriormente (intuitivamente)? ¿Qué propiedades de la distribución pueden caracterizarse por sus momentos?

2. En el cálculo de los momentos superiores usamos la multiplicación de números complejos, aunque pensamos en los valores de nuestras variables aleatorias simplemente como vectores en el plano o como ángulos. Sé que la multiplicación compleja es esencialmente la suma de ángulos en este caso, pero aún así: ¿por qué la multiplicación compleja es una operación significativa para datos circulares?

— Rasmus
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$P^Z$ $Z$ $1$ $Z$ $[0,2\pi)$

En cuanto a su segunda pregunta, creo que ya dio la respuesta: "la multiplicación compleja es esencialmente la suma de ángulos en este caso".

— Mark Meckes
fuente

Gracias, esto es realmente útil. (Lástima de mí por no reconocer una serie de Fourier, incluso cuando se precipita hacia ella ...)

— Rasmus

¿Significa esto que los momentos de una distribución circular deben compararse con la función característica de una distribución lineal y no con sus momentos?

— Rasmus

@Rasmus: Supongo que eso depende exactamente de lo que quieras hacer con la información, pero en general diría que sí.

— Mark Meckes