La hipótesis nula de un ANOVA unidireccional es que las medias de todos los grupos son iguales:La hipótesis nula de un MANOVA unidireccional es que los medios [multivariados] de todos los grupos son iguales:Esto equivale a decir que las medias son iguales para cada variable de respuesta, es decir, su primera opción es correcta .H 0 : μ 1 = μ 2 = . . . = μ k . H 0H0
H0:μ1=μ2=...=μk.
H0H0:μ1=μ2=...=μk.
En ambos casos, la hipótesis alternativa es la negación de la nula. En ambos casos, las suposiciones son (a) distribuciones gaussianas dentro del grupo y (b) varianzas iguales (para ANOVA) / matrices de covarianza (para MANOVA) entre grupos.H1
Diferencia entre MANOVA y ANOVA
Esto puede parecer un poco confuso: la hipótesis nula de MANOVA es exactamente la misma que la combinación de hipótesis nulas para una colección de ANOVA univariados, pero al mismo tiempo sabemos que hacer MANOVA no es equivalente a hacer ANOVA univariados y luego de alguna manera " combinando "los resultados (se podrían encontrar varias formas de combinar). Por qué no?
La respuesta es que ejecutar todos los ANOVA univariantes, aunque probaría la misma hipótesis nula, tendrá menos poder. Vea mi respuesta aquí para ver una ilustración: ¿Cómo puede MANOVA informar una diferencia significativa cuando ninguno de los ANOVA univariados alcanza importancia? El método ingenuo de "combinar" (rechazar el valor nulo global si al menos un ANOVA rechaza el valor nulo) también conduciría a una gran inflación de la tasa de error tipo I; pero incluso si uno elige alguna forma inteligente de "combinar" para mantener la tasa de error correcta, uno perdería poder.
Cómo funciona la prueba
ANOVA descompone la suma total de cuadrados en entre grupos de suma de cuadrados y dentro de los grupos de suma de cuadrados , de manera que . A continuación, calcula la relación de . Bajo la hipótesis nula, esta relación debería ser pequeña (alrededor de ); se puede calcular la distribución exacta de esta relación esperada según la hipótesis nula (dependerá de del número de grupos). Al comparar el valor observado con esta distribución se obtiene un valor p.TBWT=B+WB/W1nB/W
MANOVA descompone la dispersión total de la matriz en entre grupos de dispersión matriz y dentro de los grupos de dispersión matriz , de modo que . Se calcula entonces la matriz . Bajo la hipótesis nula, esta matriz debería ser "pequeña" (alrededor de ); pero ¿cómo cuantificar cuán "pequeño" es? MANOVA analiza los valores propios de esta matriz (todos son positivos). Nuevamente, bajo la hipótesis nula, estos valores propios deberían ser "pequeños" (alrededor deTBWT=B+WW−1BIλi1) Pero para calcular un valor p, necesitamos un número (llamado "estadística") para poder compararlo con su distribución esperada bajo nulo. Hay varias formas de hacerlo: tome la suma de todos los valores propios ; tome el valor propio , etc. En cada caso, este número se compara con la distribución de esta cantidad esperada bajo el valor nulo, lo que da como resultado un valor p.∑λimax{λi}
Las diferentes elecciones del estadístico de prueba conducen a valores p ligeramente diferentes, pero es importante darse cuenta de que en cada caso se está probando la misma hipótesis nula.