Expectativa en productos de orden superior de distribuciones normales

Tengo dos variables normalmente distribuidas $X_1$ y $X_2$ con media cero y matriz de covarianza $\Sigma$ . Estoy interesado en tratar de calcular el valor de $E[X_1^2 X_2^2]$ en términos de las entradas de $\Sigma$ .

Usé la ley de probabilidad total para obtener pero no estoy seguro de a qué se reduce la expectativa interna. ¿Hay otro método aquí? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Gracias.

Editar: Las variables también son multivariadas normalmente distribuidas.

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
fuente

disfrutan también de una distribución normal bivariada ? (Solo decir que

son normales con la matriz de covarianza

no es suficiente para concluir que la distribución conjunta es bivariada normal).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— Dilip Sarwate

Para la aplicación específica que tengo en mente,

tienen una distribución normal bivariada, según el teorema del límite central multivariado. Olvidé mencionar esto en mi publicación original.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— AGK

@AGK si desea aclarar su publicación, hay un botón "editar" que le permite realizar cambios. Eso es mejor para los futuros lectores que luego no tienen que buscar información clave en los comentarios debajo de la pregunta.

— Silverfish

La expectativa es claramente proporcional al producto de los factores de escala al cuadrado . La constante de proporcionalidad se obtiene estandarizando las variables, lo que reduce a la matriz de correlación con la correlación $\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ . $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

Asumiendo la normalidad bivariada, de acuerdo con el análisis en https://stats.stackexchange.com/a/71303 podemos cambiar las variables a

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

donde tiene una distribución normal bivariada estándar (no correlacionada), y solo necesitamos calcular $(X,Y)$

mi (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = mi (ρ^{2} X^{4 4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + C X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

donde el valor preciso de la constante no importa. ( es el residuo al retroceder contra ) Usar las expectativas univariadas para la distribución normal estándar $c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

mi (X^{4 4}) = 3, mi (X^{2}) = mi (Y^{2}) = 1, mi Y = 0 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

y observando que e son rendimientos independientes $X$ $Y$

mi (ρ^{2} X^{4 4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + C X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

Multiplicando esto por da $\sigma_{11}\sigma_{22}$

mi (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

El mismo método se aplica para encontrar la expectativa de cualquier polinomio en , porque se convierte en un polinomio en $(X_1,X_2)$ y que, cuando se expande, es un polinomio en lasindependientesvariables distribuidas normalmentey. Desde $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$

mi (X^{2 k}) = mi (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

para la integral (con todos los momentos impares iguales a cero por simetría) podemos derivar $k\ge 0$

mi (X_{1}^{2 pag} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- pag - q} \sum_{yo = 0 0}^{q} ρ^{2 yo} (1 - ρ^{2})^{q - yo} \frac{(2 pag + 2 yo)!}{(2 yo)! (pag + yo)! (q - yo)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(con todas las demás expectativas de monomios iguales a cero). Esto es proporcional a una función hipergeométrica (casi por definición: las manipulaciones involucradas no son profundas ni instructivas),

\frac{1}{π} 2^{pag + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (pag + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (pag + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

$\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$

— whuber
fuente

¡Gracias por la respuesta detallada! También estoy pensando en preguntas relacionadas con otros polinomios, por lo que este es un marco realmente útil. Esa es una transformación muy inteligente que no había visto antes. ¡Frio!

— AGK

Para ayudar en su investigación, he proporcionado los detalles para polinomios generales. Cuando escribí originalmente esta respuesta, me divertí al darme cuenta de que aprendí esta transformación del libro de texto de estadísticas elementales de Friedman, Pisani y Purves: ¡enseñamos esto a los estudiantes de primer año de la universidad!

— whuber