La econometría de un enfoque bayesiano para la metodología de estudio de eventos

Los estudios de eventos están muy extendidos en economía y finanzas para determinar el efecto de un evento en el precio de una acción, pero casi siempre se basan en razonamientos frecuentes. Una regresión OLS, durante un período de referencia que es distinto de la ventana del evento, generalmente se usa para determinar los parámetros necesarios para modelar el rendimiento normal de un activo. Luego, se determina la importancia estadística de los retornos anormales acumulativos ( ) en el activo después de un evento durante una ventana de evento especificada de a . Se usa una prueba de hipótesis para determinar si estos retornos son significativos y, por lo tanto, anormales o no. Así: $\text{CAR}$ $i$ $T_1$ $T_2$

$H_0 : \text{CAR}_i = 0$ , donde

$\text{CAR}_i = \sum_{t=T_1}^{T_2} \text{AR}_{i,t} = \sum_{t=T_1}^{T_2} \left( r_{i,t} -\mathbb{E}[r_{i,t}] \right)$ , y

$\mathbb{E}[r_{i,t}]$ es el rendimiento del activo predicho por el modelo.

Si nuestro número de observaciones es lo suficientemente grande, podemos asumir la normalidad asintótica de la distribución de los rendimientos de los activos, pero esto puede no verificarse para un tamaño de muestra más pequeño.

Se puede argumentar que debido a esto, los estudios de una sola empresa y de un solo evento (como se requiere, por ejemplo, en un litigio) deben seguir un enfoque bayesiano, porque la suposición de infinitas repeticiones está mucho "más lejos de ser verificada" que en el caso de múltiples empresas. Sin embargo, el enfoque frecuentista sigue siendo una práctica común.

Dada la escasa literatura sobre este tema, mi pregunta es cómo abordar mejor un estudio de eventos, análogo a la metodología descrita anteriormente y resumida en MacKinlay, 1997 , utilizando un enfoque bayesiano.

Aunque esta pregunta surge dentro del contexto de las finanzas corporativas empíricas, se trata realmente de la econometría de la regresión e inferencia bayesianas, y las diferencias en el razonamiento detrás de los enfoques frecuentista y bayesiano. Específicamente:

¿Cómo debería abordar mejor la estimación de los parámetros del modelo utilizando un enfoque bayesiano (suponiendo una comprensión teórica de las estadísticas bayesianas, pero poca o ninguna experiencia en su uso para la investigación empírica).
¿Cómo pruebo la significación estadística, una vez que se han calculado los retornos anormales acumulativos (usando los retornos normales del modelo)?
¿Cómo se puede implementar esto en Matlab?

bayesian econometrics finance

— Constantin
fuente

(1.) es simple: use la regresión lineal bayesiana . (2.) es más complicado, porque las pruebas de significación no son cosa bayesiana. Lo único que puede hacer es comparar la probabilidad de diferentes modelos, y no es la base de un modelo porque no es un parámetro de modelo. ¿Cuál es el propósito de ? ¿Qué decisiones se toman en base a esto?

CAR = 0

$\text{CAR} = 0$

CAR

$\text{CAR}$

CAR

$\text{CAR}$

— Andy Jones

Estoy buscando evidencia que respalde mi suposición de que el evento examinado tiene una influencia en el precio de las acciones (en cuyo caso el es diferente de cero, porque se calcula durante la ventana del evento, en relación con el rendimiento normal, que es calculado para el período de referencia antes del evento). Me interesa saber si los datos respaldan la hipótesis de que efectivamente existe un distinto de cero y también en su magnitud. Me doy cuenta de que la significación estadística no es realmente una cosa en las estadísticas bayesianas, pero ¿qué interpretación ofrece este método? ¿Puedo aplicar un equivalente de prueba de hipótesis?

C A R

$CAR$

C A R

$CAR$

— Constantin

Si desea argumentar que el enfoque bayesiano es más aplicable a pequeñas muestras de tamaño , entonces es inevitable que antes hable demasiado alto con dicha muestra.

n = 1

$n=1$

— StasK

¿No puedo usar un previo no informativo?

— Constantin

Respuestas:

Como se menciona en los comentarios, el modelo que está buscando es la regresión lineal bayesiana . Y dado que podemos usar BLR para calcular la distribución predictiva posterior para cualquier momento , podemos evaluar numéricamente la distribución . $p(r_t|t, \mathcal{D}_\text{ref})$ $t$ $p(\text{CAR}|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$

La cuestión es que no creo que una distribución sobre sea lo que realmente quieres. El problema inmediato es que tiene probabilidad cero. El problema subyacente es que la "versión bayesiana de las pruebas de hipótesis" está comparando modelos a través de su factor Bayes , pero eso requiere que defina dos modelos competidores. Y no son modelos (o al menos, no son modelos sin un malabarismo de números extremadamente antinatural). $\text{CAR}$ $p(\text{CAR} = 0|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$ $\text{CAR} = 0, \text{CAR} \neq 0$

Por lo que has dicho en los comentarios, creo que lo que realmente quieres responder es

¿ y explican mejor por el mismo modelo o por diferentes? $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

que tiene una clara respuesta bayesiana: define dos modelos

$M_0$ : todos los datos en se extraen del mismo BLR. Para calcular la probabilidad marginal de este modelo, calcularía la probabilidad marginal de un ajuste BLR para todos los datos. $\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)$
$M_1$ : los datos en y se extraen de dos BLR diferentes. Para calcular la probabilidad marginal de este modelo, debe ajustar BLR a y independiente (¡aunque usando los mismos hiperparámetros!), luego tome el producto de las dos probabilidades marginales BLR. $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)$ $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

Una vez hecho esto, puede calcular el factor Bayes

\frac{p (D_{ref}, D_{event} | M_{1})}{p (D_{ref}, D_{event} | M_{0})}

$\frac{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)}{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)}$

para decidir qué modelo es más creíble.

— Andy Jones
fuente

No creo que un modelo separado para el período del evento sea directamente aplicable a mi pregunta de investigación particular, porque no hay otro factor de riesgo que pueda agregar para explicar el rendimiento durante la ventana del evento. Estoy viendo el evento como una perturbación en relación con el rendimiento normal de mi modelo de fijación de precios de activos, por lo que comparar dos modelos no es realmente factible. ¿No es posible construir un intervalo de confianza para ? De esta manera podría examinar si 0 se encuentra dentro de un cierto intervalo sobre la estimación de ML, ¿no?

C A R

$CAR$

— Constantin

La variante bayesiana de los intervalos de confianza es un intervalo creíble , y sí, podría usar la distribución para construir uno. Sin embargo, esa no es una prueba de hipótesis.

CAR

$\text{CAR}$

— Andy Jones

Creo que podría haber explicado mal la misma cosa del mismo modelo / modelos diferentes; anteriormente, lo que quise decir con "modelo diferente" era "parámetros diferentes". En , se usa un conjunto de parámetros para explicar todos los datos. En , se un conjunto de parámetros para explicar los datos de entrenamiento y otro para explicar los datos de la prueba. Esta es una comparación justa porque, aunque tiene el doble de parámetros que puede ajustarse a los datos (lo que aumenta su probabilidad mariginal), extrae el doble de parámetros del anterior (lo que penaliza su probabilidad marginal).

M_{0}

$M_0$

M_{1}

$M_1$

M_{1}

$M_1$

— Andy Jones

De acuerdo, entiendo el concepto. Eso parece elegante de hecho. ¿Cómo exactamente especificaría los dos modelos? ¿Podría recomendar alguna literatura o conceptos relacionados para estudiar específicamente?

— Constantin

Si bien es controvertido, existe una prueba de hipótesis nula o aguda de punto bayesiano. Es solo la razón de probabilidades simple con un previo discontinuo en . Esto es controvertido porque la mayoría de los modelos no dan una buena justificación para una combinación de antecedentes continuos y discretos. Los estudios de eventos son una posible excepción a esa regla.

{CAR}_{i} = 0

$\text{CAR}_i=0$

— Jayk

No puede hacer un estudio de eventos con una sola empresa.

Lamentablemente, necesita datos del panel para cualquier estudio de evento. Los estudios de eventos se centran en los retornos para períodos de tiempo individuales antes y después de los eventos. Sin múltiples observaciones firmes por período de tiempo antes y después del evento, es imposible distinguir el ruido (variación específica de la empresa) de los efectos del evento. Incluso con solo unas pocas empresas, el ruido dominará el evento, como señala StasK.

Dicho esto, con un panel de muchas empresas todavía puedes hacer trabajo bayesiano.

Cómo estimar retornos normales y anormales

Asumiré que el modelo que usa para retornos normales se parece a un modelo de arbitraje estándar. Si no es así, debería poder adaptar el resto de esta discusión. Querrá aumentar su regresión de retorno "normal" con una serie de dummies para la fecha relativa a la fecha de anuncio, : $S$

r_{i t} = α_{i} + γ_{t - S} + r_{m, t}^{T} β_{i} + e_{i t}

$r_{it}=\alpha_{i}+\gamma_{t-S}+r_{m,t}^T\beta_i+e_{it}$

EDITAR: Debe ser que solo se incluye si . Un problema con este problema con este enfoque es que será informado por los datos antes y después del evento. Esto no se asigna con precisión a los estudios de eventos tradicionales donde los rendimientos esperados se calculan solo antes del evento. $\gamma_{s}$ $s>0$ $\beta_i$

Esta regresión le permite hablar sobre algo similar al tipo de serie CAR que generalmente vemos, donde tenemos una gráfica de retornos anormales promedio antes y después de un evento con quizás algunos errores estándar a su alrededor:

ingrese la descripción de la imagen aquí

( descaradamente tomado de Wikipedia )

$e_{it}$ $\alpha_{i}$ $\beta_i$ $\gamma_s$

Examinando los efectos del anuncio

$\gamma_0\neq 0$ $\gamma_0=0$

$\gamma_0$

$\gamma_0\geq 0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$

Sin embargo, para las fechas anteriores y posteriores al anuncio, las pruebas de hipótesis estrictas pueden desempeñar un papel importante, ya que estos rendimientos se pueden ver como pruebas de eficiencia de forma fuerte y semi-fuerte.

Prueba de violaciones de eficiencia de forma semi-fuerte

$\gamma_{s> 0}=0$

$\gamma_{s}=0$ $\bar x$ $f$ $X=\{x_i\}_{i=1}^n$ $\$60,000$ usarías un factor Bayes:

P (\bar{x} = $ 60, 000 | X) = \frac{\int_{\bar{x} = $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}{\int_{\bar{x} \neq $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=\dfrac{\int_{\bar{x}=\$60,000} P(X) f(\bar{x})}{\int_{\bar{x}\neq \$60,000} P(X) f(\bar{x})}$

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=0$

$\gamma_{s> 0}=0$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_{s>0} =0$ $p$ $\gamma_{s\neq 0} =0$ $1-p$ $\gamma_{s>0}$ $f$

P (γ_{s > 0} = 0 | data) = \frac{P (data | γ_{s > 0} = 0) p}{\int_{γ_{s > 0} \neq 0} P (data | γ_{s > 0}) (1 - p) f (γ_{s > 0})} > 0

$P(\gamma_{s> 0} =0|\text{data}) = \dfrac{P(\text{data}|\gamma_{s> 0}=0)p}{\int_{\gamma_{s> 0}\neq 0} P(\text{data}|\gamma_{s> 0})(1-p)f(\gamma_{s> 0})}>0$

$\gamma_{s>0}=0$

$\gamma_{s> 0}$ $\gamma_{s=0}$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_s=0$ ) para comparar con los rendimientos reales, como un puente entre los métodos bayesianos y frecuentistas.

Retornos anormales acumulativos

Todo hasta ahora ha sido una discusión sobre retornos anormales. Así que voy a ir rápidamente al COCHE:

{CAR}_{τ} = \sum_{t = 0}^{τ} γ_{t}

$\text{CAR}_\tau=\sum_{t=0}^\tau \gamma_{t}$

$\gamma_0=0$ $\text{CAR}_{t>0}=0$

Cómo implementar en Matlab

Para una versión simple de estos modelos, solo necesita una regresión lineal bayesiana antigua y regular. No uso Matlab pero parece que hay una versión aquí . Es probable que esto funcione solo con anteriores conjugados.

Para versiones más complicadas, por ejemplo, la prueba de hipótesis aguda, es probable que necesite una muestra de Gibbs. No conozco ninguna solución lista para usar para Matlab. Puede buscar interfaces para JAGS o BUGS.

— Jayk
fuente

$n\geq 1$

El efecto de una legislación específica puede ser imposible de encontrar. Si se trata de una ley aplicada (por ejemplo) a una industria específica, será difícil separar las tendencias de la industria de la legislación. Definitivamente sugeriría más de 30 empresas si es posible. Siempre puede verificar si su anterior y posterior son muy diferentes. Si su posterior no ha cambiado mucho de su anterior, es probable que el tamaño de su muestra sea demasiado pequeño.

— Jayk

¿Puede darme una referencia para un estudio de evento que utiliza variables ficticias para fechas previas y posteriores al evento? Hasta ahora no he podido encontrar esta metodología en la literatura. ¡Lo apreciaria mucho!

— Constantin

No he visto ninguno, pero creo que el método tiene sentido en contexto (con las advertencias que le puse). Una alternativa sería estimar sus parámetros en las fechas previas al anuncio y luego usar el posterior para generar los retornos en el futuro como en el artículo de Brav que mencioné anteriormente.

— Jayk