Generando valores a partir de una distribución gaussiana multivariante

Actualmente estoy tratando a los valores Simular de un $N$ -dimensional variable aleatoria $X$ que tiene una distribución normal multivariante con media vector $\mu = (\mu_1,...,\mu_N)^T$ y la matriz de covarianza $S$ .

Espero utilizar un procedimiento similar al método CDF inverso, lo que significa que primero quiero generar un $N$ uniforme -dimensional variable aleatoria y luego enchufe que en la CDF inversa de esta distribución, de modo de generar valor . $U$ $X$

Tengo problemas porque el procedimiento no está bien documentado y existen ligeras diferencias entre la función mvnrnd en MATLAB y una descripción que encontré en Wikipedia .

En mi caso, también elijo los parámetros de la distribución al azar. En particular, genero cada uno de los medios, , a partir de una distribución uniforme . Luego construyo la matriz de covarianza usando el siguiente procedimiento: $\mu_i$ $U(20,40)$ $S$

Cree una matriz triangular inferior $L$ donde $L(i,i) = 1$ para $i=1..N$ y $L(i,j) = U(-1,1)$ para $i < j$
Deje que $S = LL^T$ donde $L^T$ denota la transpuesta de $L$ .

Este procedimiento me permite asegurar que $S$ sea simétrico y positivo definido. También proporciona una matriz triangular inferior $L$ para que $S = LL^T$ , que creo que es necesario para generar valores a partir de la distribución.

Usando las pautas en Wikipedia, debería poder generar valores de $X$ usando un uniforme $N$ dimensional de la siguiente manera:

$X = \mu + L * \Phi^{-1}(U)$

Sin embargo, de acuerdo con la función MATLAB, esto generalmente se hace como:

$X = \mu + L^T * \Phi^{-1}(U)$

Cuando es la inversa de una CDF distribución -dimensional, separable, normal, y la única diferencia entre ambos métodos es simplemente si para uso o . $\Phi^{-1}$ $N$ $L$ $L^T$

¿Es MATLAB o Wikipedia el camino a seguir? ¿O ambos están equivocados?

— Berk U.
fuente

Como se indicó, ambos están equivocados porque

es un vector fila mientras que

debe ser un vector columna. Cuando endereza sus filas y columnas, esta pregunta debería responderse simplemente identificando qué versión de

μ

$\mu$

T * i n v n o r m (U)

$T * invnorm(U)$

(X - μ)^{'} (X - μ)

$(X-\mu)'(X-\mu)$

(X - μ) (X - μ)^{'}

$(X-\mu)(X-\mu)'$ da una matriz y la versión que da sólo un número: comprobación que se puede calcular la expectativa de la versión de la matriz y que da

S

$S$

— whuber

@whuber Yeap. Realizó los cambios en el formato de la pregunta. Gracias por el consejo, definitivamente la forma más fácil de verificar.

— Berk U.

Si es un vector columna de estándar RV de normal, a continuación, si se establece , la covarianza de es . $X \sim \mathcal{N}(0,I)$ $Y = L X$ $Y$ $L L^T$

Creo que el problema que tiene puede surgir del hecho de que la función mvnrnd de matlab devuelve vectores de fila como muestras, incluso si especifica la media como un vector de columna. p.ej,

 > size(mvnrnd(ones(10,1),eye(10))  
 > ans =
 >      1    10

Y tenga en cuenta que la transformación de un vector de fila le da la fórmula opuesta. si es un vector fila, entonces también es un vector fila, por lo que es un vector columna, y la covarianza de puede escribirse . $X$ $Z = X L^T$ $Z^T = L X^T$ $Z^T$ $E[Z^TZ] = LL^T$

Sobre la base de lo que ha escrito, sin embargo, la fórmula Wikipedia es correcta: si fuera un vector fila devuelta por Matlab, no se puede izquierda se multiplica por . (Pero la multiplicación a la derecha por le daría una muestra con la misma covarianza de ). $\Phi^{-1}(U)$ $L^T$ $L^T$ $LL^T$

— jpillow
fuente

Tenga en cuenta que la ayuda para mvnrnd en matlab usa

como número de muestras; el número de dimensiones es

. Entonces, si solicita

muestras de una normal multivariada

dimensional, las devuelve como una matriz

N

$N$

D

$D$

N

$N$

D

$D$

N \times D

$N \times D$

— jpillow