Demuestre que si , entonces

Actualmente atascado en esto, sé que probablemente debería usar la desviación media de la distribución binomial, pero no puedo entenderlo.

— Thyde
fuente

Hola, bienvenido a CV. Si bien preguntas como esta son bienvenidas, las tratamos de manera diferente: si agrega más información a su pregunta, puede obtener sugerencias y orientación. Consulte el párrafo correspondiente en su página de ayuda y las pautas en la self-study etiqueta wiki . Agregue la self-studyetiqueta y modifique su pregunta como se sugiere (es decir, muestre lo que ha intentado, o al menos explique lo que sabe sobre expectativas y binomios) e identifique dónde radican sus dificultades.

— Glen_b -Reinstalar Monica

también puedes mirar la desigualdad de jensen

— seanv507

@ seanv507 ciertamente, si usamos la desigualdad de Jensen, eso lo hace en un solo paso, y si thyde lo ha cubierto, eso es todo lo que se necesitaría, pero en este caso hay una prueba realmente elemental que está al alcance de los estudiantes que solo conocen algunos propiedades muy básicas de expectativa y varianza.

— Glen_b -Reinstale a Monica el

E [Y^{2}] = V a r [Y] + E [Y]^{2}

$E[Y^2] = Var[Y] + E[Y]^2$ que se convierte en , luego resolviendo obtenemos: . ¿Es esto correcto?

V a r [X] + (E [X] - n p)^{2}

$Var[X] + (E[X] - np)^2$

n p q + (n p - n p)^{2} = n p q

$npq + (np - np)^2 = npq$

— thyde

Creo que te estás confundiendo con Var. solo use E. necesita mostrar que .

E | X - n p | \leq \sqrt{E [| X - n p |^{2}]}

$E|X-np|\le \sqrt{E[|X-np|^2]}$

— seanv507

Para que el hilo de comentarios no explote, estoy recopilando mis sugerencias hacia una prueba completamente elemental (puede hacerlo más corto que esto, pero espero que esto haga que cada paso sea intuitivo). He eliminado la mayoría de mis comentarios (lo que desafortunadamente deja los comentarios un poco desarticulados).

Deje . Nota . Mostrar . Si ya conoce , podría simplemente indicar , ya que el desplazamiento por una constante no hace nada para variar. $Y=X-np$ $E(Y)=0$ $\text{Var}(Y)=npq$ $\text{Var}(X)$ $\text{Var}(Y)$
Deje. Escriba una desigualdad obvia en , expanda y use el resultado anterior. [Es posible que desee reorganizar ligeramente esto en una prueba clara, pero estoy tratando de motivar cómo llegar a una prueba, no solo la prueba final.] $Z=|Y|$ $\text{Var}(Z)$ $\text{Var}(Z)$

Eso es todo al respecto. Son 3 o 4 líneas simples, que no usan nada más complicado que las propiedades básicas de varianza y expectativa (la única forma en que el binomio entra es en dar la forma específica de y - podría probar el caso general de que la desviación media siempre es misma facilidad). $E(X)$ $\text{Var}(X)$ $\leq \sigma$

[Alternativamente, si está familiarizado con la desigualdad de Jensen, puede hacerlo un poco más brevemente.]

Ahora que ha pasado un tiempo, describiré un poco más de detalles sobre cómo abordarlo:

$Z=|X-nq|$ $\text{Var}(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2$ $E(Z^2)=E[(X-nq)^2]$

Tenga en cuenta que las variaciones deben ser positivas. El resultado sigue.

— Glen_b -Reinstate a Monica
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