Distribución de probabilidad para una onda sinusoidal ruidosa

Estoy buscando calcular analíticamente una distribución de probabilidad de puntos de muestreo a partir de una función oscilante cuando hay algún error de medición. Ya he calculado la distribución de probabilidad para la parte "sin ruido" (lo pondré al final), pero no puedo entender cómo incluir "ruido".

Estimación numérica

Para ser más claro, imagine que hay alguna función que elige puntos aleatoriamente durante un solo ciclo; Si agrupa los puntos en un histograma, obtendrá algo relacionado con la distribución.$y(x) = \sin(x)$

Sin ruido

Por ejemplo, aquí está el y el histograma correspondiente$sin(x)$

Con ruido

Ahora, si hay algún error de medición, cambiará la forma del histograma (y, por lo tanto, creo que la distribución subyacente). Por ejemplo

Cálculo analítico

Espero haberlo convencido de que hay alguna diferencia entre los dos, ahora escribiré cómo calculé el caso "sin ruido":

Sin ruido

$$y(x) = \sin(x)$$

$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

entonces desde

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

y entonces

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

que con la normalización adecuada se ajusta al histograma generado en el caso "sin ruido".

Con ruido

$y(x)$

Depende de cómo esté estructurado el proceso de ruido.

$Y$

$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(esta convolución se realizó numéricamente; no sé cuán manejable es esa integral en este ejemplo, porque no lo intenté).

Creo que la expresión derivada para P (x) está desactivada por un factor de dos. El tiempo de muestra distribuido uniformemente es equivalente a distribuir uniformemente la fase durante el intervalo -pi, pi. La función trigonométrica distribuye la probabilidad sobre el intervalo y {-1,1}. La integración de P (y) durante este intervalo debe = 1, no 2 como se obtiene usando su integrando anterior. Creo que P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))