Transformación Chi-cuadrado a distribución normal

La relación entre las distribuciones normal normal y chi-cuadrado es bien conocida. Sin embargo, me preguntaba, ¿hay una transformación que pueda conducir de un a una distribución normal estándar?$\chi^2 (1)$

Se puede ver fácilmente que la transformación de raíz cuadrada no funciona ya que su rango es solo números positivos. Creo que la distribución resultante se llama plegada normal . ¿Hay algún truco inteligente que funcione aquí?

Una opción es explotar el hecho de que para cualquier variable aleatoria continua entonces es uniforme (rectangular) en [0, 1]. Luego, una segunda transformación usando un CDF inverso puede producir una variable aleatoria continua con la distribución deseada, aquí no hay nada especial sobre chi cuadrado a normal. @Glen_b tiene más detalles en su respuesta.$X$$F_X(X)$

Si desea hacer algo extraño y maravilloso, entre esas dos transformaciones puede aplicar una tercera transformación que asigne variables uniformes en [0, 1] a otras variables uniformes en [0, 1]. Por ejemplo, , u para cualquier , o incluso para y para .$u \mapsto 1 - u$$u \mapsto u + k \mod 1$$k \in \mathbb{R}$$u \mapsto u + 0.5$$u \in [0, 0.5]$$u \mapsto 1 - u$$u \in (0.5, 1]$

Pero si queremos una transformación monótona de a entonces necesitamos que sus correspondientes cuantiles se mapeen entre sí. Los siguientes gráficos con deciles sombreados ilustran el punto; Tenga en cuenta que he tenido que cortar la visualización de la densidad cerca de cero.$X \sim \chi^2_1$$Y \sim \mathcal{N}(0,1)$$\chi^2_1$

Para la transformación monotónicamente creciente, que asigna rojo oscuro a rojo oscuro, etc., usaría . Para la transformación monotónicamente decreciente, que asigna rojo oscuro a azul oscuro, etc., puede usar el mapeo antes de aplicar el CDF inverso, por lo que . ¡Así es como se ve la relación entre e para la transformación creciente, que también da una idea de cómo se agruparon los cuantiles para la distribución de chi-cuadrado en el extremo izquierdo!$Y = \Phi^{-1}(F_{\chi^2_1}(X))$$u \mapsto 1-u$$Y = \Phi^{-1}(1 - F_{\chi^2_1}(X))$$X$$Y$

Si desea salvar la transformación de raíz cuadrada en , una opción es usar una variable aleatoria Rademacher . La distribución de Rademacher es discreta, con$X \sim \chi^2_1$$W$

Es esencialmente un Bernoulli con que se ha transformado al estirar por un factor de escala de dos y luego restar uno. Ahora es normal normal - ¡efectivamente estamos decidiendo al azar si tomar la raíz positiva o negativa!$p = \frac{1}{2}$$W\sqrt{X}$

Hace trampa un poco ya que es realmente una transformación de no solo. Pero pensé que valía la pena mencionarlo, ya que parece en el espíritu de la pregunta, y un flujo de variables de Rademacher es bastante fácil de generar. Por cierto, y serían otro ejemplo de variables normales no correlacionadas pero dependientes. Aquí hay un gráfico que muestra dónde se asignan los deciles del original ; recuerde que cualquier cosa en el lado derecho de cero es donde y el lado izquierdo es . Observe cómo los valores alrededor de cero se asignan a partir de valores bajos de y las colas (extremos izquierdo y derecho) se asignan a partir de los valores grandes de$(W, X)$$X$$Z$$WZ$$\chi^2_1$$W = 1$$W = -1$$X$$X$ .

Código para parcelas ( vea también esta publicación de desbordamiento de pila ):

require(ggplot2)
delta     <- 0.0001 #smaller for smoother curves but longer plot times
quantiles <- 10    #10 for deciles, 4 for quartiles, do play and have fun!

chisq.df <- data.frame(x = seq(from=0.01, to=5, by=delta)) #avoid near 0 due to spike in pdf
chisq.df$pdf <- dchisq(chisq.df$x, df=1)
chisq.df$qt <- cut(pchisq(chisq.df$x, df=1), breaks=quantiles, labels=F)
ggplot(chisq.df, aes(x=x, y=pdf)) +
  geom_area(aes(group=qt, fill=qt), color="black", size = 0.5) +
  scale_fill_gradient2(midpoint=median(unique(chisq.df$qt)), guide="none") +
  theme_bw() + xlab("x")

z.df     <- data.frame(x = seq(from=-3, to=3, by=delta))
z.df$pdf <- dnorm(z.df$x)
z.df$qt  <- cut(pnorm(z.df$x),breaks=quantiles,labels=F)
ggplot(z.df, aes(x=x,y=pdf)) +
  geom_area(aes(group=qt, fill=qt), color="black", size = 0.5) +
  scale_fill_gradient2(midpoint=median(unique(z.df$qt)), guide="none") +
  theme_bw() + xlab("y")

#y as function of x
data.df <- data.frame(x=c(seq(from=0, to=6, by=delta)))
data.df$y <- qnorm(pchisq(data.df$x, df=1))
ggplot(data.df, aes(x,y)) + theme_bw() + geom_line()

#because a chi-squared quartile maps to both left and right areas, take care with plotting order
z.df$qt2 <- cut(pchisq(z.df$x^2, df=1), breaks=quantiles, labels=F) 
z.df$w <- as.factor(ifelse(z.df$x >= 0, 1, -1))
ggplot(z.df, aes(x=x,y=pdf)) +
  geom_area(data=z.df[z.df$x > 0 | z.df$qt2 == 1,], aes(group=qt2, fill=qt2), color="black", size = 0.5) +
  geom_area(data=z.df[z.df$x <0 & z.df$qt2 > 1,], aes(group=qt2, fill=qt2), color="black", size = 0.5) +
  scale_fill_gradient2(midpoint=median(unique(z.df$qt)), guide="none") +
  theme_bw() + xlab("y")

[ Bueno, no pude localizar el duplicado que pensé que había; Lo más cerca que llegué fue la mención del hecho hacia el final de esta respuesta . (Es posible que solo se haya discutido en los comentarios sobre alguna pregunta, pero tal vez hubo un duplicado y simplemente lo perdí). Después de todo, daré una respuesta aquí. ]

Si es chi-cuadrado, con como su CDF, y es el cdf de lo normal, entonces es normal. Esto es obvio ya que la probabilidad de transformación integral de da un uniforme, y es normal. Entonces tenemos una transformación monotónica de chi-cuadrado a normal.$X$$F$$Φ$$Φ^{−1}(F(X))$$X$$Φ^{−1}(U)$

El mismo truco funciona con dos variables continuas.

Esto nos da un claro contraejemplo a las diversas versiones de la pregunta "¿son normales no correlacionadas Y, Z bivariadas normales?" eso surge, ya que si Z es normal normal e , entonces son normales y no están correlacionados, pero están definitivamente dependiente (y tener una relación bastante bivariada)$Y=Φ^{−1}(F_{χ^2_1}(Z^2))$$Z,Y$

La transformación :$T(z)=Φ^{−1}(F_{χ^2_1}(z^2))$

Histograma de una muestra grande de valores :$Z+Y$