Función de transferencia en modelos de pronóstico - interpretación

Estoy ocupado con el modelado ARIMA aumentado con variables exógenas para fines de modelado promocional y me cuesta explicarlo a los usuarios comerciales. En algunos casos, los paquetes de software terminan con una función de transferencia simple, es decir, parámetro * Variable exógena. En este caso, la interpretación es fácil, es decir, la actividad promocional X (representada por la variable binaria exógena) impacta la variable dependiente (por ejemplo, la demanda) por la cantidad de Y. Entonces, en términos comerciales, podríamos decir que la actividad promocional X resulta en un aumento de la demanda de las unidades Y.

Algunas veces la función de transferencia es más complicada, por ejemplo, división de polinomios * Variable exógena. Lo que podría hacer es dividir los polinomios para encontrar todos los coeficientes de regresión dinámica y decir que, por ejemplo, la actividad promocional no solo influye en la demanda durante el período que tiene lugar, sino también en períodos futuros. Pero dado que los paquetes de software generan funciones de transferencia como división de polinomios, los usuarios comerciales no pueden hacer una interpretación intuitiva. ¿Hay algo que podamos decir sobre una función de transferencia complicada sin hacer la división?

Los parámetros de un modelo relevante y la función de transferencia relacionada se presentan a continuación:

Constante = 4200, AR (1), Coeficiente de actividad promocional 30, Num1 = -15, Num2 = 1.62, Den1 = 0.25

Así que supongo que si hacemos una actividad promocional en este período, el nivel de demanda aumentará en 30 unidades. Además, dado que existe una función de transferencia (división de polinomios), la actividad promocional tendrá un impacto no solo en el período de tiempo actual sino también en los períodos posteriores. la pregunta es cómo podemos encontrar cuántos períodos en el futuro se verán afectados por la promoción y cuál será su impacto por período en unidades de demanda.

Esta respuesta se basa en la notación de Makridakis et. Al libro de texto sobre pronósticos. Supongo que es similar en cualquier libro de texto estándar sobre el modelado de la función de transferencia. También verificaría el excelente texto de Alan Pankratz sobre el modelado de la función de transferencia, ya que la siguiente respuesta está motivada por excelentes gráficos en estos dos libros. Estoy usando una notación llamada en la ecuación de la función de transferencia que necesita comprender esto de los libros de texto de referencia para que pueda comprender el material a continuación. Los he resumido a continuación:$r,s,b$

1. $r$ es el número de términos del denominador. (¿Cuál es el patrón de descomposición, rápido o lento?)
2. $s$ es el número de términos del numerador. (¿Cuándo ocurre el efecto?)
3. $b$ es la cantidad de retraso en surtir efecto.

Una función de transferencia general toma la forma:

$$Y_t = \mu + \frac{(\omega_0-\omega_1B^1- .....-\omega_sB^s)} {1-\delta_1B^1 - ...\delta_r B^r} X_{t-b}+e_t$$

Puede ser útil poner sus coeficientes en un formato de ecuación como se muestra a continuación. También considere como Ventas y como promoción / publicidad en el momento para una fácil comprensión.$Y_t$$X_t$$t$

En su caso, = 1, = 2 y = 0$r$$s$$b$

$$Y_t = \mu + \frac{(\omega_0-\omega_1B^1-\omega_2B^2)} {1-\delta B} X_t+e_t$$ donde es un proceso . es la constante / nivel y es el coeficiente del numerador y es el coeficiente del denominador.$e_t$$AR(1)$$\mu$$\omega$$\delta$

La aplicación de sus coeficientes a la ecuación anterior se traduce en:

$$Y_t = 4200 + \frac{(30 + 15B^1- 1.62 B^2)} {1-0.25B} X_t+e_t$$

El numerador denota la parte de promedio móvil (promedio móvil) y el denominador denota la parte de regresión automática de la función de transferencia. Piense en el numerador como cuando comienza el efecto y el denominador controlará la desintegración del factor numerador. Podría ayudar aún más a descomponer solo la función de transferencia en un formato aditivo utilizando álgebra básica para ilustrar los efectos.

$$\frac{30} {1-0.25B}X_t + \frac{15B^1} {1-0.25B}X_t - \frac{1.62B^2} {1-0.25B}X_t$$

Utilicé SAS para hacer la mayoría de mis cálculos ( vea este sitio web ). Ahora, realizar cálculos recursivos en la primera parte de la ecuación como se señala en el sitio web se traduce en la siguiente figura. Lo que esto te dice es que Publicidad en el tiempo causa 30 unidades incrementales en Ventas, todo igual. Este anuncio también tiene un efecto en períodos subsiguientes, por ejemplo, en el efecto es 7.5 unidades incrementales, y así sucesivamente causado por el coeficiente del denominador . t = 1 δ = $t = 0$$t = 1$$\delta = 0.25$

La segunda parte y la tercera parte de la función de transferencia, aplicando el cálculo recursivo se traduce en el siguiente cuadro. Para la segunda parte, observe que las ventas en equivalen a 15 unidades de retraso de ventas 2 y decaen aún más. Para la tercera parte del numerador, las ventas disminuyen en -1.62 unidades en el rezago 3 y se descomponen aún más.$t=0$

La combinación de las 3 partes de la función de transferencia de forma aditiva usando álgebra básica se traduce a la forma final como se muestra a continuación:

Lo que esto le dice es que la publicidad en provoca 30 unidades de ventas en y 22.5 unidades de ventas en y disminuye rápidamente a 4 unidades de ventas en y así sucesivamente ...t = 0 t = 1 t = $t=0$$t=0$$t=1$$t=2$

Veamos qué sucede si cambia el coeficiente del denominador de 0.25 a 0.70 y mantiene el numerador como 30. Por cierto, la siguiente ecuación es una forma simple de función de transferencia que funciona muy bien en la práctica, también se llama modelo de retraso distribuido infinito o retraso de Koyck modelo .

$$\frac{\omega_0} {1-\delta B}X_t => \frac{30} {1-0.70B}X_t$$

Esto se representaría como la siguiente figura, ya que puede ver que la disminución es muy lenta debido a que el factor de disminución aumentó de 0.25 a 0.70.

Espero que esto sea útil. A través de la experiencia, he aprendido que la visualización es la única forma en que puede explicar la función de transferencia a una audiencia no técnica, incluido yo. Una sugerencia práctica, recomendaría realizar experimentos con datos debido al hecho de que esto podría ser solo una ilusión, como señaló Armstrong. Si es posible, haría una experimentación de su variable "causal" para establecer la "causa y efecto". Además, no sé por qué su numerador 3 es -1.62, podría ser simplemente falso.

Proporcione retroalimentación si encuentra útil esta publicación, ya que tomó algún esfuerzo responder a esta respuesta. Aprendí la visualización de la función de transferencia en este sitio web gracias a @ javlacalle .

En muchas circunstancias que he consultado, a menudo hay una actividad excepcional antes de la promoción que refleja los efectos principales. La detección automática / rutinaria de este fenómeno es crítica para el buen desarrollo del modelo. Además, los impulsos, los cambios de nivel y las tendencias de tiempo local deben considerarse, de lo contrario, frustran / distorsionan el análisis. También hemos descubierto que, aunque las diferencias pueden ser necesarias para identificar la función de transferencia, no son necesariamente parte del modelo final. Este y otros puntos no se abordaron en el trabajo seminal de Box y Jenkins, pero ahora se abordan de manera rutinaria. Si quisiera publicar sus datos, yo y otros podríamos ayudarlo a dilucidar eso al mismo tiempo que investigamos cualquier transformación necesaria, como transformaciones de potencia o mínimos cuadrados ponderados. He utilizado un software que restablece la función de transferencia como un modelo de regresión ordinaria (retraso distribuido polinómico / retraso distribuido autorregresivo). Esto es muy útil para explicar el modelo a los clientes / clientes y también es útil en la utilización posterior de la ecuación.

En términos de expresar el modelo TF como puro lado derecho

SE PRESENTAN MODELOS:
1. MODELO PURO EN TÉRMINOS DE LAS ENTRADAS
Y = K1 + [W (B) / D (B)] * X + [THETA (B) / PHI (B)] * A
2. COMO MODELO MIXTO INCLUYENDO LAGS OF Y
D (B) * PHI (B) * Y = K2
= + PHI (B) * W (B) * X
= + D (B) * THETA (B) * A
= + PHI (B) * W ( B) * X = + D (B) * THETA (B) * A

    WHERE K2 = K1*[D(B)*PHI(B)]                                             
     OR   K1 = K2*/[D(B)*PHI(B)]                                            

LA ESTIMACIÓN SE REALIZA REALMENTE COMO A (2)
MIENTRAS QUE LA TABLA LO PRESENTA COMO A (1).
EN LA TABLA EL CONSTANTE ES K2 MIENTRAS SE
PRESENTA EN FORMA (1) EL CONSTANTE ES K1
LO PRESENTAMOS AQUÍ EN FORMA (2).

MODELO EXPRESADO COMO XARMAX
Y [t] = a 1 Y [t-1] + ... + a [p] Y [tp]
+ w [0] X [t-0] + ... + w [r ] X [tr]
+ b 1 a [t-1] + ... + b [q] a [tq]
+ constante

El modelo creado automáticamente para los datos de ventas del texto Bpx-Jenkins era

. Expresándolo como un "modelo de regresión" obtenemos