Busca un estimador lineal para la media μ de la forma
μ^=∑i=1nαixi
donde el αi son los pesos y son las observaciones. El objetivo es encontrar valores apropiados para los pesos. Deja que σ i ser la verdadera desviación estándar de x i , que puede o no coincidir con el estimado de la desviación estándar es probable que tenga. Suponga que las observaciones son imparciales; es decir, todas sus expectativas son iguales a la media μ . En estos términos podemos calcular que la expectativa de μ esxiσixiμμ^
E[μ^]=∑i=1nαiE[xi]=μ∑i=1nαi
y (siempre que los no están correlacionados) la varianza de este estimador esxi
Var[μ^]=∑i=1nα2iσ2i.
En este punto, muchas personas requieren que el estimador sea imparcial; es decir, queremos que su expectativa sea igual a la media real. Esto implica que los pesos deben sumarse a la unidad. Sujeto a esta restricción, la precisión del estimador (medida con un error cuadrático medio) se optimiza minimizando la varianza. La solución única (obtenida fácilmente con un multiplicador de Lagrange o reinterpretando la situación geométricamente como un problema de minimización de distancia) es que los pesos deben ser proporcionales a 1 / σ 2 i . αi1/σ2i La restricción de la suma a la unidad fija sus valores, produciendo
μ^=∑ni=1xi/σ2i∑ni=11/σ2i
y
Var[μ^]=1∑ni=11/σ2i=1n(1n∑i=1n1σ2i)−1.
En palabras,
1/n
σi