Porcentaje de regiones superpuestas de dos distribuciones normales

Me preguntaba, dadas dos distribuciones normales con y \ sigma_2, \ \ mu_2$\sigma_1,\ \mu_1$$\sigma_2, \ \mu_2$

• ¿Cómo puedo calcular el porcentaje de regiones superpuestas de dos distribuciones?
• Supongo que este problema tiene un nombre específico, ¿conoce algún nombre en particular que describa este problema?
• ¿Conoce alguna implementación de esto (por ejemplo, código Java)?

Esto también se llama a menudo el "coeficiente de superposición" (OVL). Buscar en Google esto te dará muchos éxitos. Puede encontrar un nomograma para el caso bi-normal aquí . Un documento útil puede ser:

• Henry F. Inman; Edwin L. Bradley Jr (1989). El coeficiente de superposición como una medida de acuerdo entre las distribuciones de probabilidad y la estimación puntual de la superposición de dos densidades normales. Comunicaciones en Estadística - Teoría y Métodos, 18 (10), 3851-3874. ( Enlace )

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Ahora me interesó más en esto, así que seguí adelante y creé el código R para calcular esto (es una integración simple). Incluí una trama de las dos distribuciones, incluido el sombreado de la región superpuesta:

min.f1f2 <- function(x, mu1, mu2, sd1, sd2) {
    f1 <- dnorm(x, mean=mu1, sd=sd1)
    f2 <- dnorm(x, mean=mu2, sd=sd2)
    pmin(f1, f2)
}

mu1 <- 2;    sd1 <- 2
mu2 <- 1;    sd2 <- 1

xs <- seq(min(mu1 - 3*sd1, mu2 - 3*sd2), max(mu1 + 3*sd1, mu2 + 3*sd2), .01)
f1 <- dnorm(xs, mean=mu1, sd=sd1)
f2 <- dnorm(xs, mean=mu2, sd=sd2)

plot(xs, f1, type="l", ylim=c(0, max(f1,f2)), ylab="density")
lines(xs, f2, lty="dotted")
ys <- min.f1f2(xs, mu1=mu1, mu2=mu2, sd1=sd1, sd2=sd2)
xs <- c(xs, xs[1])
ys <- c(ys, ys[1])
polygon(xs, ys, col="gray")

### only works for sd1 = sd2
SMD <- (mu1-mu2)/sd1
2 * pnorm(-abs(SMD)/2)

### this works in general
integrate(min.f1f2, -Inf, Inf, mu1=mu1, mu2=mu2, sd1=sd1, sd2=sd2)

Para este ejemplo, el resultado es: 0.6099324con error absoluto < 1e-04. La siguiente figura.

Esto viene dado por el coeficiente Bhattacharyya . Para otras distribuciones, vea también la versión generalizada, la distancia de Hellinger entre dos distribuciones.

No conozco ninguna biblioteca para calcular esto, pero dada la formulación explícita en términos de distancias de Mahalanobis y matrices determinantes de la varianza, la implementación no debería ser un problema.

No sé si hay una forma estándar obvia de hacer esto, pero:

Primero, encuentra los puntos de intersección entre las dos densidades. Esto se puede lograr fácilmente igualando ambas densidades, que, para la distribución normal, deberían dar como resultado una ecuación cuadrática para x.

Algo cercano a:

Esto se puede resolver con cálculo básico.

Por lo tanto, tiene cero, uno o dos puntos de intersección. Ahora, estos puntos de intersección dividen la línea real en 1, 2 o tres partes, donde cualquiera de las dos densidades es la más baja. Si no le viene a la mente nada más matemático, simplemente pruebe cualquier punto dentro de una de las partes para encontrar cuál es el más bajo.

Su valor de interés es ahora la suma de las áreas bajo la curva de densidad más baja en cada parte. Esta área ahora se puede encontrar a partir de la función de distribución acumulativa (solo resta el valor en ambos bordes de la 'parte'.

Para la posteridad, la solución de wolfgang no funcionó para mí: me encontré con errores en la integratefunción. Así que lo combiné con la respuesta de Nick Staubbe para desarrollar la siguiente pequeña función. Debería ser más rápido y con menos errores que usar la integración numérica:

get_overlap_coef <- function(mu1, mu2, sd1, sd2){
  xs  <- seq(min(mu1 - 4*sd1, mu2 - 4*sd2), 
             max(mu1 + 4*sd1, mu2 + 4*sd2), 
             length.out = 500)
  f1  <- dnorm(xs, mean=mu1, sd=sd1)
  f2  <- dnorm(xs, mean=mu2, sd=sd2)
  int <- xs[which.max(pmin(f1, f2))]
  l   <- pnorm(int, mu1, sd1, lower.tail = mu1>mu2)
  r   <- pnorm(int, mu2, sd2, lower.tail = mu1<mu2)
  l+r
}

Aquí está la versión de Java, Apache Commons Mathematics Library :

import org.apache.commons.math3.distribution.NormalDistribution;

public static double overlapArea(double mean1, double sd1, double mean2, double sd2) {

    NormalDistribution normalDistribution1 = new NormalDistribution(mean1, sd1);
    NormalDistribution normalDistribution2 = new NormalDistribution(mean2, sd2);

    double min = Math.min(mean1 - 6 * sd1, mean2 - 6 * sd2);
    double max = Math.max(mean1 + 6 * sd1, mean2 + 6 * sd2);
    double range = max - min;

    int resolution = (int) (range/Math.min(sd1, sd2));

    double partwidth = range / resolution;

    double intersectionArea = 0;

    int begin = (int)((Math.max(mean1 - 6 * sd1, mean2 - 6 * sd2)-min)/partwidth);
    int end = (int)((Math.min(mean1 + 6 * sd1, mean2 + 6 * sd2)-min)/partwidth);

    /// Divide the range into N partitions
    for (int ii = begin; ii < end; ii++) {

        double partMin = partwidth * ii;
        double partMax = partwidth * (ii + 1);

        double areaOfDist1 = normalDistribution1.probability(partMin, partMax);
        double areaOfDist2 = normalDistribution2.probability(partMin, partMax);

        intersectionArea += Math.min(areaOfDist1, areaOfDist2);
    }

    return intersectionArea;

}

Creo que algo como esto podría ser la solución en MATLAB:

[overlap] = calc_overlap_twonormal(2,2,0,1,-20,20,0.01)

% numerical integral of the overlapping area of two normal distributions:
% s1,s2...sigma of the normal distributions 1 and 2
% mu1,mu2...center of the normal distributions 1 and 2
% xstart,xend,xinterval...defines start, end and interval width
% example: [overlap] = calc_overlap_twonormal(2,2,0,1,-10,10,0.01)

function [overlap2] = calc_overlap_twonormal(s1,s2,mu1,mu2,xstart,xend,xinterval)

clf
x_range=xstart:xinterval:xend;
plot(x_range,[normpdf(x_range,mu1,s1)' normpdf(x_range,mu2,s2)']);
hold on
area(x_range,min([normpdf(x_range,mu1,s1)' normpdf(x_range,mu2,s2)']'));
overlap=cumtrapz(x_range,min([normpdf(x_range,mu1,s1)' normpdf(x_range,mu2,s2)']'));
overlap2 = overlap(end);

[overlap] = calc_overlap_twonormal(2,2,0,1,-10,10,0.01) 

Al menos podría reproducir el valor 0.8026 dado debajo de la Fig.1 en este pdf .

Solo necesita adaptar los valores de inicio y final e intervalo para ser precisos ya que esto es solo una solución numérica.