¿Qué proporción de distribuciones independientes da una distribución normal?

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La relación de dos distribuciones normales independientes da una distribución de Cauchy. La distribución t es una distribución normal dividida por una distribución chi-cuadrado independiente. La relación de dos distribuciones chi-cuadrado independientes da una distribución F.

¿Estoy buscando una relación de distribuciones continuas independientes que proporcione una variable aleatoria normalmente distribuida con media y varianza ? $\mu$ $\sigma^2$

Probablemente hay un conjunto infinito de posibles respuestas. ¿Me puede dar algunas de estas posibles respuestas? Apreciaría particularmente si las dos distribuciones independientes cuya relación se calcula son iguales o al menos tienen una varianza similar.

— Remi.b
fuente

2

Si bien el artículo de Wikipedia sobre distribuciones de razón no proporciona ejemplos del caso que busca, es una lectura interesante.

— Abraham

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Un caso bastante especial es

X

$X$ normal normal e

Y

$Y$ independientemente

\pm 1

$\pm1$ cada uno con probabilidad

\frac{1}{2}

$\frac12$ , luego

X

$X$ ,

Y

$Y$ y

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$ tiene la misma media y varianza y

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$ se distribuye normalmente.

— Henry

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" La relación de dos distribuciones chi-cuadrado independientes da una distribución F " --- bueno, no del todo. Da una distribución beta-prime. Para obtener una F necesitas escalar cada chi-cuadrado por su df.

— Glen_b -Reinstalar Monica

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Varias cosas me hacen no estar del todo convencido de que es necesariamente posible cumplir con todas sus condiciones.

— Glen_b -Reinstale a Monica el

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tomando el método de generación de variables normales (por ejemplo, Box-Muller) como ejemplo (que usa el método de círculo), diría que no hay proporciones de distribuciones uniformes que den una distribución normal (suponiendo que se soliciten distribuciones uniformes)

— Nikos M.

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Deje dondetiene una distribución exponencial con mediaycon igual probabilidad. Deje $Y_1 = Z \sqrt{E}$ $E$ $2 \sigma^2$ $Z = \pm 1$ donde. Suponiendo queson mutuamente independientes, entonceses independiente dee. Por lo tanto tenemos $Y_2 = 1 / \sqrt{B}$ $B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$ $(Z, E, B)$ $Y_1$ $Y_2$ $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

independiente de ; $Y_1$ $Y_2$
Ambos continuos; tal que
. $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

No he descubierto cómo obtener un . Es más difícil ver cómo hacerlo, ya que el problema se reduce a encontrar y que son independientes de tal manera que $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ $A$ $B$ que es bastante más difícil que hacer queparayindependientes.

\frac{UN - si μ}{si} \sim Normal (0 0, 1)

$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$

A / B \sim Normal (0, 1)

$A/B \sim \text{Normal}(0,1)$

A

$A$

B

$B$

— chico
fuente

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Si esto es cierto, esto es asombroso.

— Neil G

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@NeilG es cierto; El producto de mi beta y exponencial es una gamma con forma 1/2 (debido a cómo puedes construir la beta y una gamma independiente usando gammas). Entonces la raíz cuadrada de eso es medio normal usando el hecho de que el cuadrado de una normal es chi-cuadrado.

— chico

1

Recientemente tuvimos una pregunta pidiendo un producto de dos variables que se distribuye normalmente (no puedo encontrarlo de nuevo). Esa pregunta tenía un comentario o respuesta relacionada con la transformación de Box-Muller que calcula una distribución normal (o más precisamente una distribución normal bivariada) del producto de dos variables distribuidas uniformes transformadas. Esta respuesta se relaciona mucho con eso, pero toma el inverso de una de esas variables en la transformación de Box-Muller. cc: @kjetilbhalvorsen

— Sextus Empiricus

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Apreciaría especialmente si las dos distribuciones independientes cuya proporción se calcula son las mismas

No hay posibilidad de que una variable normal pueda escribirse como una razón de dos variables independientes con la misma distribución o familia de distribución (como la distribución F, que es la razón de dos variables distribuidas $\chi^2$ escaladas o la distribución Cauchy, que es la razón de dos variables distribuidas normales con media cero).

Supongamos que: para cualquier $A, B \sim F$ donde $F$ es la misma distribución o familia de distribución tenemos
$X = \frac{UN}{si} \sim norte (μ, σ^{2})$ $X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$
También debemos poder revertir $A$ y $B$ (si una variable normal puede escribirse como una razón de dos variables independientes con la misma distribución o familia de distribución, entonces el orden puede revertirse)
$\frac{1}{X} = \frac{si}{UN} \sim norte (μ, σ^{2})$ $\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$
Pero si $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ entonces $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ no puede ser cierto (lo inverso de una variable distribuida normal no es otra variable distribuida normal).

Conclusión más amplia: si las variables en cualquier familia de distribución $\mathcal{F}_X$ pueden escribirse como una relación de variables en otra familia de distribución $\mathcal{F}_Y$ entonces debe ser que la familia $\mathcal{F}_X$ está cerrada tomando el recíproco (es decir, para cualquier variable cuya distribución está en $\mathcal{F}_X$ la distribución de su recíproco también estará en $\mathcal{F}_X$ ).

Por ejemplo, el inverso de una variable distribuida de Cauchy también está distribuido por Cauchy. La inversa de una variable distribuida en F también está distribuida en F.

Este 'si' no es un 'iff', lo contrario no es cierto. Cuando $X$ y $1/X$ están en la misma familia de distribución, entonces no siempre se puede escribir como una distribución de razón con nominador y denominador de la misma familia de distribución.

Contraejemplo: podemos imaginar familias de distribución para las cuales para cualquier $X$ en la familia tenemos $1/X$ en la misma familia pero no tenemos $P(X=1)=0$ . Esto es contradictorio con el hecho de que para una distribución de razón donde el denominador y el nominador tienen la misma distribución, debemos tener $P(X=1) \neq 0$ (y algo similar se puede expresar para distribuciones continuas como la integral a lo largo de la línea X / Y = 1 en un diagrama de dispersión de X, Y tiene una densidad distinta de cero cuando X e Y tienen la misma distribución y son independientes).

— Sexto empírico
fuente

No lo veo Me parece que solo porque

y

son normales, eso no hace que

A / D

$A/D$

B / C

$B/C$

normal.

\frac{A / D}{B / C}

$\frac{A/D}{B/C}$

— Carl

Mejor. Ahora tiene sentido.

— Carl

1

No entiendo cómo la segunda declaración se sigue de la primera. Si existe algún

tal que su cociente sea normal, ¿por qué se deduce que su cociente en el otro orden también debería ser normal? La pregunta no pedía una familia de distribución tal que el cociente de todos los pares de elementos sea normal.

A, B

$A, B$

— Neil G

1

No entiendo lo que dices. Idealmente, su respuesta sería un argumento coherente sin requerir que alguien lea las ediciones. En este momento, parece que su segunda declaración ("también debemos tener") no se sigue de la primera.

— Neil G

1

@kjetilbhalvorsen, ¿cómo debe revisarse? He respondido la parte de la pregunta que especifica "Agradecería especialmente si las dos distribuciones independientes cuya relación se calcula son las mismas" . No veo cómo la respuesta de chico se relaciona con eso.

— Sextus Empiricus

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Bueno, aquí hay uno, pero no lo probaré, solo lo mostraré en simulación.

Haga dos distribuciones beta con los mismos parámetros de forma grande (aquí, ), reste 1/2 de los valores de uno de ellos y llámelo "numerador". Eso nos da un PDF que tiene un rango máximo de $\text{Beta}(200,200)$ $n=40,000$ $x$ , pero debido a que los parámetros de forma son tan grandes, nunca llegamos a los valores máximos del rango. Aquí hay un histograma de un"numerador" $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ $n=40,000$

A continuación, llamamos al segundo denominador de distribución beta "sin restar nada", por lo que tiene el rango de distribución beta habitual de y uno de esos se ve así $(0,1)$

Nuevamente, debido a que las formas son tan grandes, no nos acercamos al rango máximo con los valores. A continuación, graficamos el cociente como PDF con la distribución normal superpuesta. $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

Ahora, en este caso, el resultado de distribución normal tiene y pruebas de normalidad que se ven así $\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

(\begin{array}{ccc} Estadística & Valor p \\ Anderson-Darling & 0.799786 & 0.481181 \\ Baringhaus-Henze & 1.40585 & 0.0852017 \\ Cramér-von Mises & 0.123145 & 0.482844 \\ Jarque-Bera ALM & 4.48103 & 0.106404 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00452328 & 0.386335 \\ Kuiper & 0.00798063 & 0.109127 \\ Mardia combinada & 4.48103 & 0.106404 \\ Kurtosis de Mardia & 1.53849 & 0.123929 \\ Torcedura de Mardia & 2.09399 & 0.147879 \\ Pearson χ^{2} & 134,353 & 0.571925 \\ Watson U^{2} & 0.113831 & 0.211187 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$

En otras palabras, no podemos probar que la relación no sea normal, incluso si tratamos de hacerlo con mucha fuerza.

¿Ahora por qué? Intuición de mi parte, que tengo en exceso. Prueba dejada al lector, si existe alguna (tal vez a través del límite del método de los momentos, pero de nuevo eso es solo intuición).

$\text{Beta}(20,20)$ $\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ $t$ $\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

\begin{array}{lll} Estadística & Valor p \\ Anderson-Darling & 0.275262 & 0.955502 \\ Cramér-von Mises & 0,0351108 & 0.956524 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00320936 & 0,804486 \\ Kuiper & 0.00556501 & 0.657146 \\ Pearson χ^{2} & 145,077 & 0.323168 \\ Watson U^{2} & 0.0351042 & 0.878202 \end{array}

$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

(\begin{array}{ccc} Estadística & Valor p \\ Anderson-Darling & 0.501677 & 0.745102 \\ Cramér-von Mises & 0.0696824 & 0,753515 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00355688 & 0.692225 \\ Kuiper & 0.00608382 & 0.501133 \\ Pearson χ^{2} & 142,88 & 0.370552 \\ Watson U^{2} & 0,0603207 & 0.590369 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$

— Carl
fuente

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Está claramente muy cerca de una distribución normal. Sin embargo, eso no es lo mismo que tener una distribución normal, y no creo que la relación de una beta simétrica centrada a una beta simétrica ordinaria con los mismos parámetros sea realmente normal. Sin embargo, me interesaría mucho estar equivocado sobre esto.

— Glen_b: reinstala a Monica el

2

Su solución definitivamente no es normal. Podría generalizar este enfoque: tome cualquier distribución que sea aproximadamente Normal y divídala por una distribución con su probabilidad concentrada cerca de un número distinto de cero. El resultado (obviamente) estará cerca de Normal, pero aún no será Normal. Aplicar un montón de pruebas no es convincente porque todo lo que demuestra es que no generó muestras suficientemente grandes para demostrar la no normalidad.

— whuber

1

10^{8}

$10^8$

2

Permítanme llegar al meollo del asunto, entonces: (1) refutar la normalidad es un simple ejercicio de aproximación integral: no es necesario dar los detalles aquí. Puede, por ejemplo , demostrar fácilmente que el momento 200 es infinito. (2) Su respuesta confunde las distribuciones con muestras. Es esta confusión fundamental a la que me opongo; Es la razón por la que creo que esta respuesta es más engañosa que útil. Por cierto, no escribí mi último comentario a la ligera: realicé esa prueba. No lo hice con una supercomputadora, sino con una estación de trabajo para PC de hace una década, y todo el proceso tomó solo unos segundos.

— whuber

1

@whuber ¿Qué aproximación estás probando? ¿El primero, el segundo o el tercero? Por cierto, si son solo aproximaciones, que así sea. Solo sugiero que, en el caso límite, podrían ser exactos. Todas las estadísticas son aproximadas, así que no comparto su aprensión.

— Carl

-3

$X_1^G,X_2^G$ $X^C_{\gamma}$

\frac{X_{1}^{sol}}{X_{2}^{sol}} = X_{γ}^{C}

$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ $\gamma$

X_{1}^{sol} = X_{2}^{sol} / / X_{1 / / γ}^{C}

$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$

$\mu$ $\mu$ $\sigma$ $\gamma\rightarrow1/\gamma$

— chuse
fuente

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Pruebe su hipótesis, ya sea mediante el cálculo explícito de la relación o mediante la simulación. Cualquiera de los dos mostrará que su reclamo es incorrecto. El error radica en suponer que las relaciones de distribución se pueden "cancelar" para "resolver" el numerador.

— whuber

1

X_{2}^{G}

$X_2^G$