[Asumiré de la discusión en su pregunta que está feliz de aceptar como un hecho que si son variables aleatorias independientes N ( 0 , 1 ) distribuidas idénticamente , entonces ∑ k i = 1 Z 2 i ∼ χ 2 k .]Zi,i=1,2,…,kN(0,1)∑ki=1Z2i∼χ2k
Formalmente, el resultado que necesita se deriva del teorema de Cochran . (Aunque se puede mostrar de otras maneras)
Menos formalmente, considere que si supiéramos la media de la población y estimáramos la varianza sobre ella (en lugar de sobre la media de la muestra): , entoncess 2 0 /σ2=1s20=1n∑ni=1(Xi−μ)2 , (Zi=(Xi-μ)/σ) que será1s20/σ2=1n∑ni=1(Xi−μσ)2=1n∑ni=1Z2iZi=(Xi−μ)/σ veces aχ 2 n variable aleatoria.1nχ2n
El hecho de que se use la media de la muestra, en lugar de la media de la población ( ) hace que la suma de los cuadrados de las desviaciones sea menor, pero de tal manera que ∑ n i = 1 ( Z ∗ i ) 2Z∗i=(Xi−X¯)/σ (sobre el cual, ver el teorema de Cochran). Por lo tanto, en lugar de n s 2 0 / σ 2 ∼ χ 2 n ahora tenemos ( n - 1 ) s 2 / σ 2 ∼ χ 2 n - 1 .∑ni=1(Z∗i)2∼χ2n−1ns20/σ2∼χ2n(n−1)s2/σ2∼χ2n−1