Cuál es el significado de

Estoy luchando por comprender completamente alguna notación en un libro donde usan un símbolo de "cruz", primero como $\bigoplus\limits_{i=1}^n{} Z_j$ donde el $Z_j$ son matrices y segundo como $I_n \otimes \Phi$ dónde $I_n$ y $\Phi$ son ambas matrices

El libro trata sobre estadísticas multivariadas y la sección trata sobre modelos de coeficientes aleatorios. No hay un apéndice de notación / terminología al que hacer referencia. Iba a publicar una foto digital de la página para que los usuarios puedan ver el contexto (esto está al comienzo de la sección).

Entonces, ¿esto es un tema aquí o debería publicar en math.se?

Actualización: originalmente publiqué esto en meta.se y se migró aquí. Ahora adjunto la foto de la página relevante del libro. ingrese la descripción de la imagen aquí

mathematical-statistics mixed-model notation

— Joe King
fuente

\oplus

$\oplus$ , Suma directa ;

\otimes

$\otimes$ , Producto tensorial .

— whuber

@whuber gracias! Eso es exactamente lo que necesitaba. ¿Querías convertirlo en una respuesta para que pueda aceptarlo?

— Joe King

Estoy demasiado ocupado ahora, Joe: una respuesta real explicaría cuáles son estas cosas, en lugar de recurrir a enlaces. Si alguien quisiera proporcionar los detalles en una respuesta, me complacería votarlo, pero mientras tanto me alegra que pueda continuar con su lectura.

— whuber

@whuber OK Cargaré la imagen digital que mencioné para dar más contexto

— Joe King

En estadística,

A \oplus B := [\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array}]

$A\oplus B:=\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B \end{array} \right]$ y (por ejemplo, para un

2 \times 2

$2\times 2$ -matriz

A

$A$ )

A \otimes B := [\begin{array}{cc} a_{11} B & a_{12} B \\ a_{21} B & a_{22} B \end{array}] .

$A\otimes B:=\left[\begin{array}{cc}a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{array} \right].$

Esto se centra en las matrices para su uso en estadísticas como matrices de diseño o hipótesis, etc., donde estas notaciones simplifican la estructura de bloques frecuente de tales matrices. Uno puede encontrar el nombre de la suma de Kronecker para $\oplus$ y el producto Kronecker para $\otimes$ , especialmente en los manuales de software estadístico. (También es muy útil la multiplicación matricial por componentes) $A\#B=[a_{ij}b_{ij}]_{i,j}$ para matrices de igual forma. A veces se llama producto Hadamard).

En matemáticas, $\oplus$ y $\otimes$ tienen un significado típico ligeramente diferente como suma directa o producto tensorial de espacios vectoriales o incluso estructuras algebraicas más generales.

— Horst Grünbusch
fuente

El significado estadístico es idéntico al significado matemático de la suma directa y el producto tensorial de las transformaciones lineales : estas fórmulas resultan de escribir las transformaciones como matrices en una base particular.

— whuber

El teorema sostiene que el conjunto de

n \times m

$n\times m$ -matrices es isomorfo al conjunto de transformaciones lineales de un

m

$m$ dimensional a un

n

$n$ espacio vectorial dimensional. Entonces en el mundo del espacio vectorial tienes razón. Pero también existe una suma directa entre estructuras como grupos. En estadística, esto último no suele significar.

— Horst Grünbusch

@whuber cuando busqué esto por primera vez, me encontré con [esto] ( math.stackexchange.com/questions/207635/… ) lo que me confundió un poco y me llevó a hacer la pregunta en CV. ¿Ese enlace en realidad muestra el mismo uso, porque el respondedor aceptado allí dice que es "adición no portadora"?

— Joe King

@ HorstGrünbusch Solo quería alertarlo sobre el comentario que acabo de hacer sobre el dedo gordo del pie - también, si pudiera actualizar su respuesta para reflejar cómo se llaman los significados en las estadísticas, me complacería aceptarlo.

— Joe King

Nunca me encontré con este significado particular de

\oplus

$\oplus$ y ni siquiera estoy seguro de si la respuesta aceptada es correcta. Pero estoy bastante seguro de que no es la suma de Kronecker de la aritmética matricial.

— Horst Grünbusch