¿Cuál es la diferencia entre

En general, ¿cuál es la diferencia entre $E(X|Y)$ y $E(X|Y=y)$ ?

Primero es función de $y$ y último es función de $x$ ? Es muy confuso ...

En términos generales, la diferencia entre $E(X \mid Y)$ y $E(X \mid Y = y)$ es que la primera es una variable aleatoria, mientras que la segunda es (en cierto sentido) una realización de $E(X \mid Y)$ . Por ejemplo, si

$$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$$ entonces $E(X \mid Y)$ es la variable aleatoria $$E(X \mid Y) = \rho Y.$$ Por el contrario, una vez quese observa$Y = y$ es más probable que nos interese la cantidad$E(X \mid Y = y) = \rho y$ que es un escalar.

Tal vez esto parezca una complicación innecesaria, pero considerar $E(X \mid Y)$ como una variable aleatoria por derecho propio es lo que hace que cosas como la ley de la torre $E(X) = E[E(X \mid Y)]$ tengan sentido: el Lo que está dentro de las llaves es aleatorio, por lo que podemos preguntar cuál es su expectativa, mientras que no hay nada aleatorio sobre $E(X \mid Y = y)$ . En la mayoría de los casos, podríamos esperar calcular

$$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$$

y luego obtenga E ( X ∣ Y ) "conectando" la variable aleatoria Y en lugar de y en la expresión resultante. Como se insinuó en un comentario anterior, hay un poco de sutileza que puede arrastrarse con respecto a cómo se definen rigurosamente estas cosas y vincularlas de la manera adecuada. Esto tiende a suceder con probabilidad condicional, debido a algunos problemas técnicos con la teoría subyacente.$E(X \mid Y)$$Y$$y$

Supongamos que $X$ e $Y$ son variables aleatorias.

Sea $y_0$ un número real fijo , digamos $y_0 = 1$ . Entonces, $E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$ es un número : es el valor condicional esperado de $X$ dado que $Y$ tiene el valor $1$ . Ahora, tenga en cuenta para algún otro número real fijo $y_1$ , digamos $y_1=1.5$ , $E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$ sería el valor condicional esperado de $X$ dado$Y = 1.5$ (un número real). No hay razón para suponer que$E[X\mid Y = 1.5]$ y$E[X\mid Y = 1]$ tienen el mismo valor. Por lo tanto, también podemos considerar$E[X\mid Y=y]$ como unafunción de valor real $g(y)$ que asigna números reales$y$ a números reales$E[X\mid Y = y]$ . Tenga en cuenta que la afirmación en la pregunta del OP de que$E[X\mid Y = y]$ es una función de $x$ es incorrecta:$E[X\mid Y = y]$ es una función de valor real de$y$ .

On the other hand, $E[X\mid Y]$ is a random variable $Z$ which happens to be a function of the random variable $Y$. Now, whenever we write $Z = h(Y)$, what we mean is that whenever the random variable $Y$ happens to have value $y$, the random variable $Z$ has value $h(y)$. Whenever $Y$ takes on value $y$, the random variable $Z = E[X\mid Y]$ takes on value $E[X\mid Y = y] = g(y)$. Thus, $E[X\mid Y]$ is just another name for the random variable $Z = g(Y)$. Note that $E[X\mid Y]$ is a function of $Y$ (not $y$ as in the statement of the OP's question).

As a a simple illustrative example, suppose that $X$ and $Y$ are discrete random variables with joint distribution

$$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$$ Note that $X$ and $Y$ are (dependent) Bernoulli random variables with parameters $0.7$ and $0.6$ respectively, and so $E[X] = 0.7$ and $E[Y] = 0.6$. Now, note that conditioned on $Y=0$, $X$ is a Bernoulli random variable with parameter $0.75$ while conditioned on $Y = 1$, $X$ is a Bernoulli random variable with parameter $\frac 23$. If you cannot see why this is so immediately, just work out the details: for example $$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$$ and similarly for $P(X=1\mid Y=1)$ and $P(X=0\mid Y = 1)$. Hence, we have that $$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$$ Thus, $E[X\mid Y = y] = g(y)$ where $g(y)$ is a real-valued function enjoying the properties: $$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$$

On the other hand, $E[X\mid Y] = g(Y)$ is a random variable that takes on values $\frac 34$ and $\frac 23$ with probabilities $0.4 = P(Y=0)$ and $0.6 = P(Y=1)$ respectively. Note that $E[X\mid Y]$ is a discrete random variable but is not a Bernoulli random variable.

As a final touch, note that

$$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$$ That is, the expected value of this function of $Y$, which we computed using only the marginal distribution of $Y$, happens to have the same numerical value as $E[X]$ !! This is an illustration of a more general result that many people believe is a LIE: $$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$$

Sorry, that's just a small joke. LIE is an acronym for Law of Iterated Expectation which is a perfectly valid result that everyone believes is the truth.

$E(X|Y)$ is the expectation of a random variable: the expectation of $X$ conditional on $Y$. $E(X|Y=y)$, on the other hand, is a particular value: the expected value of $X$ when $Y=y$.

Think of it this way: let $X$ represent the caloric intake and $Y$ represent height. $E(X|Y)$ is then the caloric intake, conditional on height - and in this case, $E(X|Y=y)$ represents our best guess at the caloric intake ($X$) when a person has a certain height $Y = y$, say, 180 centimeters.

$E(X|Y)$ is expected value of values of $X$ given values of $Y$ $E(X|Y=y)$ is expected value of $X$ given the value of $Y$ is $y$

Generally $P(X|Y)$ is probability of values $X$ given values $Y$, but you can get more precise and say $P(X=x|Y=y)$, i.e. probability of value $x$ from all $X$'s given the $y$'th value of $Y$'s. The difference is that in the first case it is about "values of" and in the second you consider a certain value.

You could find the diagram below helpful.