Una prueba de la estacionariedad de un AR (2)

Considere un proceso AR (2) centrado en la media

X_{t} = ϕ_{1} X_{t - 1} + ϕ_{2} X_{t - 2} + ϵ_{t}

$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$ donde

ϵ_{t}

$\epsilon_t$ es el proceso estándar de ruido blanco. Sólo por razones de simplicidad déjame llamar

ϕ_{1} = b

$\phi_1=b$ y

ϕ_{2} = a

$\phi_{2}=a$ . Centrándome en las raíces de la ecuación de características obtuve

z_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a}

$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$ Las condiciones clásicas en los libros de texto son las siguientes: Traté de resolver manualmente (con la ayuda de Mathematica) las desigualdades en las raíces, es decir, el sistemaobteniendo solo¿Sepuede recuperarla tercera condición () agregando las dos soluciones anteriores entre sí obteniendoque a través de algunas consideraciones de signos se convierte en? ¿O me estoy perdiendo una solución?

{\begin{cases} | a | < 1 \\ a \pm b < 1 \end{cases}

$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$

{\begin{cases} | \frac{- b - \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a} | > 1 \\ | \frac{- b + \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a} | > 1 \end{cases}

$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$

a \pm b < 1

$a \pm b<1$

| a | < 1

$|a|<1$

a + b + a - b < 2 \Rightarrow a < 1

$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$

| a | < 1

$|a|<1$

self-study stationarity arma

— Marco
fuente

Mi conjetura es que la ecuación característica de la que estás saliendo es diferente de la mía. Permítanme proceder en un par de pasos para ver si estamos de acuerdo.

Considere la ecuación

λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} = 0

$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$

Si $z$ es una raíz de la ecuación característica "estándar" $1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$ y configurando $z^{-1}=\lambda$ , la pantalla se obtiene reescribiendo la estándar de la siguiente manera:

\begin{array}{rcl} 1 - ϕ_{1} z - ϕ_{2} z^{2} & = & 0 \\ \Rightarrow z^{- 2} - ϕ_{1} z^{- 1} - ϕ_{2} & = & 0 \\ \Rightarrow λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} & = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$ Por lo tanto, una condición alternativa para la estabilidad de un

A R (2)

$AR(2)$ es que todas las raíces de la primera pantalla estándentrodel círculo unitario,

| z | > 1 \Leftrightarrow | λ | = | z^{- 1} | < 1

$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$ .

Utilizamos esta representación para derivar el triángulo de estacionariedad de un proceso $AR(2)$ , es decir, un $AR(2)$ es estable si se cumplen las siguientes tres condiciones:

$\phi_2<1+\phi_1$
$\phi_2<1-\phi_1$
$\phi_2>-1$

Recuerde que puede escribir las raíces de la primera pantalla (si es real) como

λ_{1, 2} = \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2}

$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$ para encontrar las dos primeras condiciones.

Entonces, el $AR(2)$ es estacionario iff $|\lambda|<1$ , por lo tanto (si el $\lambda_i$ es real):

\begin{array}{rcl} - 1 < \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2} & < & 1 \\ \Rightarrow - 2 < ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 \end{array}

$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$ La mayor de las dos

λ_{i}

$\lambda_i$ está limitada por

ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} < 2

$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$ , o:

\begin{array}{rcl} ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 \\ \Rightarrow \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 - ϕ_{1} \\ \Rightarrow ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2} & < & (2 - ϕ_{1})^{2} \\ \Rightarrow ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2} & < & 4 - 4 ϕ_{1} + ϕ_{1}^{2} \\ \Rightarrow ϕ_{2} & < & 1 - ϕ_{1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$ Analogously, we find that

ϕ_{2} < 1 + ϕ_{1}

$\phi_2<1 + \phi_1$ .

If $\lambda_i$ is complex, then $\phi_1^2<-4\phi_2$ and so

λ_{1, 2} = ϕ_{1} / 2 \pm i \sqrt{- (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2})} / 2.

$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$ The squared modulus of a complex number is the square of the real plus the square of the imaginary part. Hence,

λ^{2} = (ϕ_{1} / 2)^{2} + {(\sqrt{- (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2})} / 2)}^{2} = ϕ_{1}^{2} / 4 - (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}) / 4 = - ϕ_{2} .

$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$ This is stable if

| λ | < 1

$|\lambda|<1$ , hence if

- ϕ_{2} < 1

$-\phi_2<1$ or

ϕ_{2} > - 1

$\phi_2>-1$ , as was to be shown. (The restriction

ϕ_{2} < 1

$\phi_2<1$ resulting from

ϕ_{2}^{2} < 1

$\phi_2^2<1$ is redundant in view of

ϕ_{2} < 1 + ϕ_{1}

$\phi_2<1+\phi_1$ and

ϕ_{2} < 1 - ϕ_{1}

$\phi_2<1-\phi_1$ .)

Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get

enter image description here

Produced in R using

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

— Christoph Hanck
fuente

this is a very detailed explanation.

— Marco

@Christoph: Is there a typo in the answer? Look at equation for

λ^{2}

$\lambda^2$ . Also, what do you mean by square of a complex number? If

z = a + b i

$z = a + bi$ then

z^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 i a b

$z^2 = a^2 - b^2 + 2iab$ . How do you say square of a complex number is "square of the real plus the square of the imaginary part"

— shani

Thanks, quite right! I was referring to the sqaured modulus, see the edit.

— Christoph Hanck

@ChristophHanck, what is your take on Aksakal's answers in these two threads: 1 and 2? Are they in conflict with your answer, and if so, what is the correct answer?

— Richard Hardy

I think he is quite right when defining weak stationarity as constancy of the first two moments. Often, and also in the present thread, "stationarity" and "existence of a causal representation", i.e., a summable

M A (\infty)

$MA(\infty)$ representation without dependence on the future, are conflated. What my answer therefore more precisely shows is conditions for the existence of the latter.

— Christoph Hanck