Se puede demostrar que Welch-Satterthwaite df es una media armónica ponderada a escala de los dos grados de libertad, con pesos proporcionales a las desviaciones estándar correspondientes.
La expresión original dice:
νW= ( s21norte1+ s22norte2)2s4 41norte21ν1+ s4 42norte22ν2
Tenga en cuenta que es la varianza estimada de la i ésima media muestral o el cuadrado del i -ésimo error estándar de la media . Sea r = r 1 / r 2 (la razón de las varianzas estimadas de las medias muestrales), entoncesryo= s2yo/ / nyoyothyor = r1/ / r2
νW= ( r1+ r2)2r21ν1+ r22ν2= ( r1+ r2)2r21+ r22r21+ r22r21ν1+ r22ν2= ( r + 1 )2r2+ 1r21+ r22r21ν1+ r22ν2
El primer factor es , que aumenta de 1 en r = 0 a 2 en r = 1 y luego disminuye a 1 en r = ∞ ; es simétrico en log r .1+sech(log(r))1r=02r=11r=∞logr
El segundo factor es una media armónica ponderada :
H(x––)=∑ni=1wi∑ni=1wixi.
wi=r2i
r1/r2ν1r1/r20ν2r1=r2s21=s22 you get the usual equal-variance t-test d.f., which is also the maximum possible value for νW.
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With an equal-variance t-test, if the assumptions hold, the square of the denominator is a constant times a chi-square random variate.
The square of the denominator of the Welch t-test isn't (a constant times) a chi-square; however, it's often not too bad an approximation. A relevant discussion can be found here.
A more textbook-style derivation can be found here.