Qué distribución da como resultado la adición de dos distribuciones de Pareto

Me pregunto qué distribución da como resultado la adición de dos (o más) distribuciones de Pareto tipo uno de la forma . Experimentalmente, parece una ley de potencia de dos modos, asintótica a la diferencia de alfa. $x^{-\alpha}$

distributions power-law pareto-distribution

— AMG
fuente

El último comentario hace que parezca que contemplas los alfa que difieren entre las distribuciones. ¿Vas a arreglar los dominios (también conocidos como "escalas") de las distribuciones o no? Un cálculo rápido de Mathematica indica que el PDF incluye, como uno de sus términos, el producto de y la diferencia de una distribución Beta en y una distribución Beta en . Es unimodal para . Este resultado no sería válido para y más grandes , entonces, ¿hay algún límite en los posibles valores de los parámetros en los que está interesado?

x^{- α - β}

$x^{-\alpha-\beta}$

(- α, 1 - β)

$(-\alpha,1-\beta)$

1 - 1 / x

$1-1/x$

1 / x

$1/x$

0 < α < β < 1

$0\lt\alpha\lt\beta\lt 1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

El siguiente documento propone una expansión del CDF y una forma de aproximarlo: docs.isfa.fr/labo/2012.16.pdf

— RUser4512

Editado para ser un poco más legible. Las distribuciones se suman por convolución. La distribución de Pareto se define por partes como para y 0 para . La convolución de dos funciones de Pareto y es: $k^a x^{-a-1}$ $x\geq k$ $x<k$ $k^a x^{-a-1}$ $j^b x^{-b-1}$

a (- 1)^{- b} b k^{a} j^{b} Γ (a + b + 1) \times ({(\frac{1}{t - j})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{t - j}) - {(\frac{1}{k})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{k})),

$a (-1)^{-b} b k^a j^b \Gamma (a+b+1) \times \\ \left(\left(\frac{1}{t-j}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{t-j}\right)- \\ \left(\frac{1}{k}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{k}\right)\right),$

donde y 0 para , que aunque es un campo complejo dentro de ese término, tiene un valor real fuera de él. es Hypergeometric2F1 Regulado aquí en el código de Mathematica. No todas las opciones para los parámetros producirán funciones de densidad valoradas positivas. Aquí hay un ejemplo de cuándo son positivos. Para las dos distribuciones de Pareto, sea a = 2, b = 3, j = 0.1 yk = 0.3. y sus gráficos están en azul para la función {k, a} y en naranja para la función {j, b}. Su convolución es entonces gráficamente que, cuando se examinan las colas, parece que el verde es la convolución. $j+k<x$ $x\leq j+k$ $\, _2\tilde{F}_1(w,x;y;z)$

De su pregunta, puede estar preguntando acerca de la adición ordinaria de dos distribuciones de Pareto. En ese caso, el área debajo de la curva es dos, por lo que la suma no es una función de densidad, que necesita tener un área debajo de la curva de uno. Sin embargo, si esa es la pregunta, entonces para simplifica a , que tiene un límite de solo si , y es 0 o infinito en todos los demás casos. En otras palabras, la suma aritmética de dos distribuciones de Pareto solo tiene colas que son la diferencia entre y cuando $\frac{a k^a t^{-a-1}+b j^b t^{-b-1}}{t^{a-b-1}}$ $b>a>0$ $t^{-2 a} \left(b t^a j^b+a k^a t^b\right)$ $a k^a$ $b=2a$ $a$ $b$ $b=2a$ , y la suma aritmética no es una función de densidad, y la suma tendría que escalarse para dos probabilidades, para ser una función de densidad. Aunque se produce la adición aritmética de funciones de densidad para definir otra función de densidad, es inusual. Un ejemplo de esto ocurre en farmacocinética, donde la suma de dos o más distribuciones exponenciales se usa para definir una función de densidad. Para resumir, eso no es algo que recomendaría. $1=p+q$

Esperemos que esto responda tu pregunta. Si no es así, objete mi respuesta o agregue más información.

— Carl
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@gung Gracias por la limpieza. ¿Se requiere algo de etiqueta de mi parte para esto? ¿Se obtiene una reputación asignada para la limpieza, o simplemente buena voluntad?

— Carl

De nada, @Carl. Si su reputación es <2k (?), Cuando sugiere una edición y se aprueba, obtiene +2. Después de eso, las ediciones no te dan nada No necesito el representante, así que no hay problema. Su respuesta aquí es buena (+1), solo la edité para que sea un poco más fácil de leer.

— gung - Restablece a Monica