¿Cada matriz definida semi-positiva corresponde a una matriz de covarianza?

Es bien sabido que una matriz de covarianza debe ser definida semi-positiva, sin embargo, ¿es verdad lo contrario?

Es decir, ¿corresponde cada matriz definida semi-positiva a una matriz de covarianza?

covariance matrix

— Jingjings
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Siguiendo las definiciones de PD y PSD aquí , sí, creo que sí, ya que podemos hacerlo por construcción. Asumiré por un argumento un poco más simple que quiere decir para matrices con elementos reales, pero con los cambios apropiados se extendería a matrices complejas.

Deje ser una verdadera matriz PSD; de la definición a la que me vinculé, será simétrica. Cualquier verdadero simétrica definida positiva matriz puede escribirse como . Esto se puede hacer por si con ortogonal y diagonal y como matriz de componentes raíces cuadradas sabios de . Por lo tanto, no necesita ser de rango completo. $A$ $A$ $A = LL^T$ $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ $\sqrt{D}$ $D$

Sea una variable aleatoria vectorial, de la dimensión apropiada, con matriz de covarianza (que es fácil de crear). $Z$ $I$

Entonces tiene covarianza matriz . $LZ$ $A$

[Al menos eso es en teoría. En la práctica, habría varios problemas numéricos con los que tratar si deseara obtener buenos resultados y, debido a los problemas habituales con el cálculo de coma flotante, solo obtendría aproximadamente lo que necesita; es decir, la varianza de la población de un computarizada por lo general no sería exactamente . Pero este tipo de cosas siempre es un problema cuando llegamos a calcular realmente las cosas] $LZ$ $A$

— Glen_b -Reinstate a Monica
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Si bien es cierto que una descomposición es posible sin rango completo, el algoritmo Cholesky solo funciona con normal . Entonces, sin rango completo, no puede ser una descomposición de Cholesky. Computacionalmente, uno podría hacer esta descomposición en el caso singular por diagonalización. (Aunque esto es mucho más caro)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— Horst Grünbusch

@Horst: ¿Por qué sería triangular inferior?

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— ameba dice Reinstate Monica

@amoeba Si bien uno podría organizarlo así, no tiene que ser triangular inferior para que el argumento funcione: es una característica de Cholesky pero no es necesario para que el resultado funcione.

— Glen_b -Reinstate a Mónica el

@Glen ¿Ser simétrico es una condición necesaria para ser PSD o es esa definición una de muchas?

— 114

@ 114 para la relación entre simétrica y PSD, vea math.stackexchange.com/questions/516533/…

— Frank