debajo de un gaussiano

Esta pregunta surge de la siguiente pregunta. /math/360275/e1-1x2-under-a-normal-distribution

Básicamente, ¿cuál es la bajo una Gaussian . Intenté reescribir como una mezcla escalar de gaussianos ( ). Esto también se detuvo, a menos que ustedes tengan un truco bajo su cinturón. $E\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$ $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ $\frac{1}{1+x^2}$ $\propto \int\mathcal{N}(x|0,\tau^{-1})Ga(\tau|1/2,1/2)d\tau$

Si esta integral no es analítica, ¿tiene límites razonables?

normal-distribution expected-value bounds

— sachinruk
fuente

¿Por qué no puedes hacer lo mismo que en la pregunta que vinculaste? (lo que implica que no es analítico (ya que evalúa erfc con algunas constantes)

— seanv507

Porque no sigo lo que ha hecho por completo. También erfc está bien

— sachinruk

Respuestas:

Deje sea el Normal PDF y sea el PDF de una distribución de Student t con un df Porque El PDF de una variable normal es (por simetría), la expectativa es igual $f_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$ $(0,\sigma)$ $g(x) = \frac{1}{\pi}\left(1+x^2\right)^{-1}$ $(\mu,\sigma)$ $X$ $f_\sigma(x-\mu) = f_\sigma(\mu-x)$

{mi}_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = {mi}_{σ, μ} (π sol (X)) = \int_{R} F_{σ} ((μ - X)^{2}) π sol (X) re X .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\pi g(X)\right) = \int_\mathbb{R} f_\sigma\left((\mu-x)^2\right) \pi g(x)dx.$

Esta es la fórmula que define la convolución . El resultado más básico del análisis de Fourier es que la transformación de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier . Además, las funciones características (cf) son (hasta múltiplos adecuados) transformadas de Fourier de archivos PDF. El cf de una distribución Normal es $(f\star \pi g)(\mu)$ $(0,\sigma)$

{\hat{f}}_{σ} (t) = \exp (- t^{2} σ^{2} / 2)

$\widehat{f}_\sigma(t) = \exp(-t^2\sigma^2/2)$

y el cf de esta distribución t de Student es

\hat{g} (t) = \exp (- | t |) .

$\widehat{g}(t) = \exp(-|t|).$

(Ambos pueden obtenerse por métodos elementales). El valor de la transformada inversa de Fourier de su producto en es, por definición, $\mu$

\frac{1}{2 π} \int_{R} {\hat{F}}_{σ} (t) π \hat{sol} (t) Exp (- yo t μ) re t = \frac{1}{2} \int_{R} Exp (- t^{2} σ^{2} / / 2 - El | t El | - yo t μ) re t .

$\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \widehat{f}_\sigma(t)\pi\widehat{g}(t) \exp(-i t \mu) dt =\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \exp(-t^2\sigma^2/2-|t|-i t \mu) dt.$

Su cálculo es elemental: realizarlo por separado en los intervalos y para simplificara y , respectivamente, y completa el cuadrado cada vez. Se obtienen integrales similares a los CDF normales, pero con argumentos complejos. Una forma de escribir la solución es $(-\infty,0]$ $[0,\infty)$ $|t|$ $-t$ $t$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \frac{\sqrt{\frac{π}{2}} e^{- \frac{(μ + i)^{2}}{2 σ^{2}}} (e^{\frac{2 i μ}{σ^{2}}} erfc (\frac{1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) - erf (\frac{- 1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) + 1)}{2 σ} .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-\frac{(\mu +i)^2}{2 \sigma ^2}} \left(e^{\frac{2 i \mu }{\sigma ^2}} \text{erfc}\left(\frac{1+i \mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)-\text{erf}\left(\frac{-1+i\mu}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)}{2 \sigma }.$

Aquí, es la función de error complementaria donde $\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z)$

erf (z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0 0}^{z} Exp (- t^{2}) re t .

$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z \exp(-t^2)dt.$

Un caso especial es para el cual esta expresión se reduce a $\mu=0, \sigma=1$

{mi}_{1, 0 0} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \sqrt{\frac{mi π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0.65567954241879847154 ... .

$\mathbb{E}_{1, 0}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.65567954241879847154\ldots.$

Aquí está el diagrama de contorno de (en un eje logarítmico para ). $\mathbb{E}_{\sigma,\mu}$ $\sigma$

Figura

— whuber
fuente

+1. Pequeña nota: es igual a para mí, lo cual está de acuerdo con @ La respuesta numérica de fabee.

\sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}})

$\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

0.6556795424 \dots

$0.6556795424\ldots$

— COOLSerdash

Agradable. Realmente extrañé totalmente que esta sea la densidad de la suma de una variable gaussiana y una variable distribuida en t (hasta la normalización). +1 para derivar la fórmula general de y arbitrarias .

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— fabee

@ COOL Gracias. Copié la respuesta incorrecta. (Hice varios cálculos numéricos; el que informé erróneamente era en realidad para .) Pegaré el correcto.

μ = 1, σ = 1 / 2

$\mu=1,\sigma=1/2$

— whuber

Esta es una idea de cómo resolverlo que utiliza la identidad que fue propuesta por Did aquí . Podrías usar

\frac{1}{S} = \int_{0 0}^{\infty} Exp (- t S) re t

$\frac{1}{S}=\int_0^\infty \exp(-tS)dt$

\begin{aligned} mi (\frac{1}{X^{2} + 1}) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0 0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} Exp (- t (X^{2} + 1)) Exp (- \frac{X^{2}}{2}) re X re t \\ = \int_{0 0}^{\infty} Exp (- t) {(1 + 2 t)}^{- \frac{1}{2}} re t \\ = \sqrt{\frac{mi π}{2}} {[erf (\sqrt{t + \frac{1}{2}})]}_{0 0}^{\infty} \\ = \sqrt{\frac{mi π}{2}} (1 - erf (\sqrt{\frac{1}{2}})) \end{aligned}

$\begin{align}E\left(\frac{1}{x^2+1}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-t(x^2+1)\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx \mathrm dt\\ &=\int_0^\infty \exp\left(-t\right)\left(1+2t\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm dt\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left[\mbox{erf}\left(\sqrt{t+\frac{1}{2}}\right)\right]_0^\infty\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left(1-\mbox{erf}\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\end{align}$

— fabee
fuente

+1 Para el enfoque. Sin embargo, creo que el factor no pertenece al resultado.

1 / \sqrt{2 π}

$1/\sqrt{2\pi}$

— whuber

Esa es la constante de normalización para el gaussiano (viene de la expectativa). Entonces, a menos que me falte algo, creo que pertenece allí.

\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$

— fabee

Ha combinado la función de error con el CDF gaussiano: no son lo mismo. Pruebe con un cálculo numérico; verá el error.

— whuber

Tienes razón, el factor estaba mal. Pero sucedió antes de usar la función de error. la expectativa de wrt y luego olvidé eliminar la constante de normalización. Gracias por la pista.

\exp (- t x^{2})

$\exp(-t x^2)$

x

$x$

— fabee