Derivando la distribución bivariada de Poisson

Recientemente me he encontrado con la distribución bivariada de Poisson, pero estoy un poco confundido sobre cómo se puede derivar.

La distribución está dada por:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

De lo que puedo deducir, el término $\theta_{0}$ es una medida de correlación entre $X$ e $Y$ ; por lo tanto, cuando $X$ e $Y$ son independientes, $\theta_{0} = 0$ y la distribución simplemente se convierte en el producto de dos distribuciones de Poisson univariadas.

Teniendo esto en cuenta, mi confusión se basa en el término de suma: supongo que este término explica la correlación entre y$X$ .$Y$

Me parece que el sumando constituye algún tipo de producto de funciones de distribución acumulativa binomial donde la probabilidad de "éxito" viene dada por y la probabilidad de "falla" viene dada pori! $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ , porque(i!$i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$, pero podría estar muy lejos con esto.$\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$

¿Podría alguien proporcionar alguna ayuda sobre cómo se puede derivar esta distribución? Además, si pudiera incluirse en cualquier respuesta sobre cómo este modelo podría extenderse a un escenario multivariante (digamos tres o más variables aleatorias), ¡sería genial!

(Finalmente, he notado que había una pregunta similar publicada antes ( Comprensión de la distribución bivariada de Poisson ), pero la derivación en realidad no fue explorada).

En una presentación de diapositivas , Karlis y Ntzoufras definen un Poisson bivariado como la distribución de donde X $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$ tiene independientemente distribuciones de Poisson . Recordemos que tener esa distribución significa$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

para $k=0, 1, 2, \ldots.$

El evento es la unión disjunta de los eventos.$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

para todos que hacen que los tres componentes enteros no negativos, de los cuales se deduce que 0 ≤ i ≤ min ( x , y ) . Porque el$i$$0 \le i \le \min(x,y)$ es independiente, sus probabilidades se multiplican, de donde$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Esta es una fórmula; hemos terminado. Pero para ver que es equivalente a la fórmula en la pregunta, use la definición de la distribución de Poisson para escribir estas probabilidades en términos de los parámetros y (suponiendo que ninguno de θ 1 , θ 2 sea ​​cero) vuelva a trabajarlo algebraicamente para parecerse lo más posible al producto Pr ( X 1 = x ) Pr ( X 2 = y ) :$\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

If you really want to--it is somewhat suggestive--you can re-express the terms in the sum using the binomial coefficients $\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$ and $\binom{y}{i}$, yielding

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

exactly as in the question.

---

Generalization to multivariate scenarios could proceed in several ways, depending on the flexibility needed. The simplest would contemplate the distribution of

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

for independent Poisson distributed variates $X_0, X_1, \ldots,X_d$. For more flexibility additional variables could be introduced. For instance, use independent Poisson $\eta_i$ variables $Y_1, \ldots, Y_d$ and consider the multivariate distribution of the $X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$, $i=1, 2, \ldots, d.$

Here is a way to derive the bivariate poisson distribution.

Let $X_0, X_1, X_2$ be independent poisson random variables with parameters $\theta_0, \theta_1, \theta_2$. Then we define $Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$. The variable $X_0$, common to both $Y_1$ an $Y_2$, causes the pair $(Y_1, Y_2)$ to be correlated. Then we must calculate the probability mass funtion:

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
Hope this helps!