Un resultado importante y útil es el teorema de representación de Wold (a veces llamado descomposición de Wold), que dice que cada serie de tiempo estacionaria de covarianza Yt puede escribirse como la suma de dos series de tiempo, una determinista y una estocástica.
Yt= μt+ ∑∞j = 0sijεt - j, donde μt es determinista.
El segundo término es un MA infinito.
(También es el caso de que un MA invertible se pueda escribir como un proceso AR infinito).
Esto sugiere que si la serie es estacionaria de covarianza , y si suponemos que puede identificar la parte determinista, siempre puede escribir la parte estocástica como un proceso de MA. Del mismo modo, si el MA satisface la condición de invertibilidad, siempre puede escribirlo como un proceso AR.
Si tiene el proceso escrito en una forma, a menudo puede convertirlo a la otra forma.
Entonces, en un sentido al menos, para series estacionarias de covarianza, a menudo AR o MA serán apropiados.
Por supuesto, en la práctica preferiríamos no tener modelos muy grandes. Si tiene un AR o MA finito, tanto el ACF como el PACF eventualmente se desvanecen geométricamente (hay una función geométrica en la que el valor absoluto de cualquiera de las funciones se ubicará debajo), lo que tenderá a significar que una buena aproximación de un AR o un La MA en la otra forma a menudo puede ser razonablemente corta.
Entonces, bajo la condición estacionaria de covarianza y suponiendo que podamos identificar los componentes deterministas y estocásticos, a menudo AR y MA pueden ser apropiados.
La metodología de Box y Jenkins busca un modelo parsimonioso: un modelo AR, MA o ARMA con pocos parámetros. Típicamente, el ACF y el PACF se usan para tratar de identificar un modelo, transformándolo a la estacionariedad (tal vez por diferenciación), identificando un modelo desde la apariencia del ACF y PACF (a veces las personas usan otras herramientas), ajustando el modelo y luego examinando el estructura de los residuos (típicamente a través de ACF y PACF en los residuos) hasta que la serie residual parezca razonablemente consistente con el ruido blanco. A menudo habrá múltiples modelos que pueden proporcionar una aproximación razonable a una serie. (En la práctica, a menudo se consideran otros criterios).
Hay algunos motivos para criticar este enfoque. Por ejemplo, los valores p que resultan de tal proceso iterativo generalmente no tienen en cuenta la forma en que se llegó al modelo (al observar los datos); Este problema podría evitarse al menos en parte mediante la división de muestras, por ejemplo. Un segundo ejemplo de crítica es la dificultad de obtener realmente una serie estacionaria, mientras que en muchos casos uno puede transformarse para obtener una serie que parece razonablemente consistente con la estacionariedad, por lo general no será el caso (problemas similares son comunes). problema con los modelos estadísticos, aunque quizás a veces sea más un problema aquí).
[La relación entre un AR y el MA infinito correspondiente se discute en Hyndman y Athanasopoulos ' Forecasting: principios y práctica ,
aquí ]