Una "distribución estable" es un tipo particular de familia de distribuciones a escala de ubicación. La clase de distribuciones estables está parametrizada por dos números reales, la estabilidad y la asimetría .β ∈ [ - 1 , 1 ]α∈(0,2] β∈[−1,1]
Un resultado citado en el artículo de Wikipedia resuelve esta pregunta sobre el cierre en productos de funciones de densidad. Cuando es la densidad de una distribución estable con , entonces asintóticamenteα < 2fα<2
f(x)∼|x|−(1+α)g(sgn(x),α,β)
para una función dada explícitamente cuyos detalles no importan. (En particular, será distinto de cero para todas las positivas o todas las negativas o ambas). Por lo tanto, el producto de cualquiera de estas dos densidades será asintóticamente proporcional a en Al menos una cola. Dado que , este producto (después de la renormalización) no puede corresponder a ninguna distribución en la misma familia estable.g x x | x | - 2 ( 1 + α ) 2 ( 1 + α ) ≠ 1 + αggxx|x|−2(1+α)2(1+α)≠1+α
(De hecho, debido a que para cualquier posible , el producto de cualquiera de estas tres funciones de densidad ni siquiera puede ser la función de densidad de cualquier distribución estable. Eso destruye cualquier esperanza de extender la idea del cierre del producto de una única distribución estable a un conjunto de distribuciones estables).α ′ ∈ ( 0 , 2 ]3(1+α)≠1+α′α′∈(0,2]
La única posibilidad restante es . Estas son las distribuciones normales, con densidades proporcionales a para los parámetros de ubicación y escala y . Es sencillo verificar que un producto de dos de esas expresiones tenga la misma forma (porque la suma de dos formas cuadráticas en es otra forma cuadrática en ).exp ( - ( x - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ) μ σ x xα=2exp(−(x−μ)2/(2σ2))μσxx
La respuesta única, entonces, es que la familia de distribución Normal es la única distribución estable de producto de densidad cerrada.