¿Funciones generadoras de momentos y transformadas de Fourier?

¿Es una función generadora de momento una transformada de Fourier de una función de densidad de probabilidad?

En otras palabras, ¿es una función generadora de momentos solo la resolución espectral de una distribución de densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es decir, una forma equivalente de caracterizar una función en términos de amplitud, fase y frecuencia en lugar de en términos de un parámetro?

Si es así, ¿podemos darle una interpretación física a esta bestia?

Pregunto porque en física estadística una función generadora acumulativa , el logaritmo de una función generadora de momentos, es una cantidad aditiva que caracteriza un sistema físico. Si piensa en la energía como una variable aleatoria, entonces su función de generación acumulativa tiene una interpretación muy intuitiva como la propagación de energía a través de un sistema. ¿Existe una interpretación intuitiva similar para la función generadora de momento?

Entiendo su utilidad matemática , pero no es solo un concepto engañoso, ¿seguramente tiene un significado conceptual?

moments mgf cumulants

— bolbteppa
fuente

Creo que es la función característica que más se asemeja a la transformada de Fourier. La función generadora de momento es una transformación de Laplace.

— Placidia

Interesante: "La transformación de Laplace está relacionada con la transformación de Fourier, pero mientras que la transformación de Fourier resuelve una función o señal en sus modos de vibración, la transformación de Laplace resuelve una función en sus momentos" princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs / ... Entonces supongo que la pregunta es: ¿cómo, intuitivamente, una transformación de Laplace descompone una función en sus momentos, y hay una interpretación geométrica de esto?

— bolbteppa

Lo hace en virtud de la expansión de la serie Taylor de la función exponencial.

— Placidia

¡Ahora casi todo tiene sentido! Sin embargo, ¿qué es exactamente un momento, intuitivamente? Sé esto: "En términos generales, un momento puede considerarse cómo una muestra diverge del valor medio de una señal: el primer momento es en realidad la media, el segundo es la varianza, etc ..." dsp.stackexchange.com/a/ 11032 Sin embargo, ¿qué significa eso intuitivamente? ¿Cuál es la muestra al calcular el 1er / 2do / 3er / 4to momento de decir, x ^ 2 (tomando una transformada de Laplace de x ^ 2)? ¿Hay una interpretación geométrica?

— bolbteppa

El MGF es

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

para valores reales de donde existe la expectativa. En términos de una función de densidad de probabilidad , $t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

Esta no es una transformada de Fourier (que tendría lugar de . $e^{itx}$ $e^{tx}$

$e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Brian Borchers
fuente

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

Y, por supuesto, la propiedad más útil es que el MGF de la suma de dos variables aleatorias independientes es el producto de sus funciones generadoras de momento. Esto es equivalente a la regla de que la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones es el producto de sus transformadas de Fourier.

— Brian Borchers