Expresión en forma cerrada para la distribución de la curtosis de muestra de distribución gaussiana

¿Existe una expresión de forma cerrada para la distribución de la Kurtosis de muestra de los datos muestreados de la distribución gaussiana? es decir,

$P(\hat{K}<a)$ donde es la curtosis de muestra.$\hat{K}$

La distribución de muestreo exacta es difícil de obtener; Hubo los primeros momentos (que datan de 1929), varias aproximaciones (que datan de principios de la década de 1960) y tablas, a menudo basadas en simulaciones (que datan de la década de 1960).

Para ser más especifico:

Fisher (1929) da momentos de la distribución muestral de la asimetría y la curtosis en muestras normales, y Pearson (1930) (también) da los primeros cuatro momentos de la distribución muestral de la asimetría y la curtosis y propone pruebas basadas en ellas.

Entonces, por ejemplo :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

La asimetría de es$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

El exceso de curtosis de es .$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

* Cuidado: los valores para los momentos y demás dependen de la definición exacta de la curtosis de muestra que se utiliza. Si ve una fórmula diferente para o , por ejemplo, generalmente se debe a una definición ligeramente diferente de la curtosis de la muestra.$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

En este caso, las fórmulas anteriores deberían aplicarse a .$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

Pearson (1963) analiza la aproximación de la distribución muestral de curtosis en muestras normales mediante una distribución Pearson tipo IV o Johnson (sin duda, la razón por la que los primeros cuatro momentos se dieron tres décadas antes fue en gran parte para hacer posible el uso de la familia Pearson) .$S_U$

Pearson (1965) da tablas para percentiles de curtosis para algunos valores de .$n$

D'Agostino y Tietjen (1971) dan tablas más extensas de percentiles para curtosis.

D'Agostino y Pearson (1973) dan gráficos de puntos porcentuales de curtosis que cubren una gama más extensa de casos nuevamente.

Fisher, RA (1929),
"Momentos y momentos de producto de las distribuciones de muestreo",
Actas de la London Mathematical Society , Serie 2, 30: 199-238.

Pearson, ES, (1930)
"Un desarrollo adicional de las pruebas de normalidad" ,
Biometrika , 22 (1-2), 239-249.

Pearson, ES (1963)
"Algunos problemas que surgen al aproximar las distribuciones de probabilidad, usando momentos" ,
Biometrika , 50 , 95-112

Pearson, ES (1965)
"Tablas de puntos porcentuales de y en muestras normales: un redondeo," Biometrika , 52 , 282-285$\sqrt{b_1}$$b_2$

D'Agostino, RB y Tietjen, GL (1971),
"Puntos de probabilidad de simulación de para muestras pequeñas" , Biometrika , 58 , 669-672.$b_2$

D'Agostino, RB, y Pearson, ES (1973),
"Pruebas de desviación de la normalidad. Resultados empíricos para la distribución de y ," Biometrika , 60 , 613-622.$b_2$$\sqrt{b_1}$

La Kurtosis muestral de una muestra normal, se distribuye aproximadamente como una media normal cero con varianza , donde es el tamaño de la muestra (naturalmente, cuanto mayor sea mejor será la aproximación. Pueden ser expresiones más complicadas para la varianza encontrado en la página de wikipedia ). Para muestras gaussianas de pequeño tamaño (<40), se han derivado percentiles en este artículo: Lacher, DA (1989). Distribución muestral de asimetría y curtosis. Química clínica, 35 (2), 330-331.$\approx 24/n$$n$$n$