¿Cómo derivar el predictor de filtro estacionario de Kalman?

En su capítulo sobre los filtros de Kalman, mi libro DSP afirma, aparentemente de la nada, que el filtro de Kalman estacionario para un sistema

{\begin{cases} x (t + 1) & = A x (t) + w (t) \\ y (t) & = C x (t) + v (t) \end{cases}

$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$

tiene el predictor

\hat{x} (t + 1 | t) = (A - A \bar{K} C) \hat{x} (t | t - 1) + A \bar{K} y (t)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$

y covarianza de vector de estado estacionario y ganancia de Kalman

\bar{P} = A \bar{P} A^{T} - A \bar{P} C^{T} (C \bar{P} C^{T} + R)^{- 1} C \bar{P} A^{T} + Q

$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$

\bar{K} = \bar{P} C^{T} (C \bar{P} C^{T} + R)^{- 1}

$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$

donde y denotan las covarianzas del ruido de entrada y el ruido de medición , respectivamente. $Q$ $R$ $w$ $v$

No puedo ver cómo llegar a esto desde el predictor de varianza mínima. ¿Podría alguien explicármelo o señalarme un recurso que derive la expresión? Este es el filtro de varianza mínima de variante de tiempo, que puedo derivar:

\hat{x} (t + 1 | t) = (A - K (t) C) \hat{x} (t | t - 1) + K (t) y (t)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$

P (t + 1 | t) = A (P (t | t - 1) - P (t | t - 1) C^{T} (C P (t | t - 1) C^{T} + R)^{- 1} C P (t | t - 1)) A^{T} + Q

$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$

K (t) = A P (t | t - 1) C^{T} (C P (t | t - 1) C^{T} + R)^{- 1}

$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$

No estoy seguro de cómo ir desde aquí al filtro estacionario de arriba.

$\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$ $K(t)=A\bar{K}$ $A$ $K$ $\bar{K}$

kalman-filters

— Andreas
fuente

No, no es posible "ver" el predictor de las ecuaciones para el sistema. Creo que sería mejor si lees un libro de texto sobre los filtros de Kalman en lugar de pedirnos que lo obtengamos por ti (lo cual sería simplemente regurgitar algo de un libro de texto). El filtrado óptimo de Anderson y Moore podría ser un buen lugar para comenzar. Se deriva en el capítulo 5, si no recuerdo mal.

— Lorem Ipsum

@yoda: gracias. Mi pregunta era si alguien podría señalarme un recurso mejor que el libro de texto que recomienda mi curso, así que esa es una respuesta.

— Andreas

@yoda: Por cierto, en caso de que no estuviera claro: no estoy pidiendo una derivación del sistema de espacio de estado, sino del filtro de Kalman de varianza mínima. He actualizado la pregunta para aclarar que puedo derivar un filtro de Kalman invariante en el tiempo, pero no el filtro estacionario.

— Andreas

¿De qué texto estás obteniendo lo anterior? Si alguien tiene acceso a él, puede ser útil para que podamos ver el contexto completo.

— Jason R

Sus derivaciones son correctas.

$\bar P = P(t|t-1)$ $K(t) = A \bar K$

¿Es esta tu confusión?

$t|t-1$
¿Cómo puede ser "estacionario" cuando su derivación muestra que varía en el tiempo?

Mala elección de la notación en la del libro parte

$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$ $\bar P$

Malentendido de la palabra "estacionario".

$P$ $K$ $\bar P$ $\bar K$

Valores anteriores de ellos mismos
$A$ $C$ $A$ $C$
$Q$ $R$

$K$ $P$ $y$

Conclusión:

Las ecuaciones de "variante de tiempo" que obtuvo fueron equivalentes a las del libro. Además, las diferencias notacionales, hubo un ligero malentendido de su parte con respecto a qué cambios y qué no.

— ssk08
fuente

No recuerdo cuál era el problema que tuve cuando hice la pregunta, pero ahora tiene sentido. ¡Gracias!

— Andreas

No entiendo muy bien esto. ¿Cómo serían entonces las ecuaciones para un filtro de Kalman no estacionario?

— Sandu Ursu