¿Cuál es la respuesta de fase y magnitud del ruido blanco?

Me gustaría crear ruido blanco en el dominio de la frecuencia, y luego transformarlo en el dominio del tiempo usando python. Para comprender el problema, simplemente generé ruido blanco en el dominio del tiempo y lo transformé en dominio de frecuencia:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

No me veo en absoluto como esperaba: Preguntas:

• ¿No se supone que el ruido blanco tiene una respuesta de magnitud plana? (cantidades iguales para todas las frecuencias)
• ¿Cuál es la relación entre la desviación estándar (1 en mi ejemplo) y la magnitud y fase?

¡Gracias de antemano!

¿No se supone que el ruido blanco tiene una respuesta de magnitud plana? (cantidades iguales para todas las frecuencias)

La respuesta de magnitud esperada del ruido blanco es plana (esto es lo que JasonR llama densidad espectral de potencia). Cualquier instancia particular de una secuencia de ruido blanco no tendrá una respuesta plana precisa (esto es a lo que el comentario de JasonR se refiere como espectro de potencia).

De hecho, la transformación de Fourier del ruido blanco es ... ¡ruido blanco!

¿Cuál es la relación entre la desviación estándar (1 en mi ejemplo) y la magnitud y fase?

No habrá relación entre la desviación estándar y la fase. En cuanto a la magnitud, supongamos que es ruido blanco estacionario con media cero y desviación estándar . Entonces la autocorrelación (covarianza) es:$n(t)$$\sigma$

$$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$$

Entonces, la densidad espectral de potencia es solo (aunque para tiempo discreto, habrá una escala basada en la duración de la señal).$\sigma^2$

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Preguntas del comentario:

1. Cuando dices que la transformación de Fourier también es ruido blanco, ¿cómo puedo medir el std-dev cuando la transformación es compleja? ¿Parte real, imaginaria o alguna combinación?

Supongamos que nuestro ruido es de tiempo discreto y es (media cero, gaussiano, ruido blanco con varianza ). Entonces la transformación es:$n[m]$$\sigma^2$

$$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$$

y el valor esperado es:

$$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

La varianza de la parte real viene dada por:

$$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$$

Creo que la parte imaginaria se comportará de la misma manera.

2. ¿Podría aclararme cómo se relaciona la duración de la señal con la densidad espectral de potencia (para situaciones de tiempo discreto)

Creo que (en base a la derivación anterior), la densidad espectral de potencia (el valor esperado del cuadrado del DFT) se escalará linealmente como la duración.

3. Si la fase no se ve afectada por el std-dev, qué determina la amplitud de 3 grados y el tipo de distribución (parece ser más uniforme que normal)

Consulte la tabla en la página 2 de este archivo PDF . dice que el argumento (fase) de los coeficientes se distribuirá uniformemente, como usted dice. Captura de pantalla de la tabla incluida a continuación.