Promedio de dominio de tiempo FFT vs promedio de frecuencia bin

Tengo múltiples ensayos de datos fisiológicos. Estoy haciendo un análisis basado en la frecuencia para analizar la potencia (amplitud) en ciertas frecuencias de interés. ¿Promediar múltiples pruebas de igual longitud y luego tomar una sola FFT de la señal promediada versus calcular FFT para cada prueba y luego promediar los intervalos de frecuencia de la misma manera? En la práctica, creo que este no es el caso.

Específicamente, la señal naturalmente tiene un fuerte componente 1 / f y esto se enfatiza si calculo el FFT de cada prueba individual y luego promedio las amplitudes (parte real) de cada bin de frecuencia. ¿Son los dos equivalentes? ¿Hay una manera correcta de hacer las cosas? ¿o bajo qué condiciones de principio debería hacerse la elección entre el promedio del dominio del tiempo frente al promedio del bin de frecuencia?

Déjame aclarar.

• La transformada de Fourier no representa el histograma de la señal. La transformación de Fourier es una transformación lineal que toma la señal del dominio del tiempo (función compleja) al dominio de frecuencia (otra función compleja). Lleva una función compleja a otra función compleja.
• La transformada de Fourier es lineal como se señala en el póster anterior.
• Fase en sus muestras importa como se señaló anteriormente. Si los datos de prueba por prueba varían en fase, entonces no desea promediar antes de hacer una transformación de Fourier, pero tampoco desea promediar después de la transformación de Fourier. Desea promediar después de la transformación y la norma de Fourier. A continuación detallaré exactamente lo que hay que hacer.

El problema principal aquí es que la pregunta se plantea mal. No es "debería tomar la transformada de Fourier antes de promediar o después de promediar". Porque no hace diferencia debido a la linealidad de la transformada de Fourier.

La pregunta correcta es "debería tomar la amplitud de la transformada de Fourier antes de promediar o después de promediar". Para esta pregunta, la respuesta es antes.

Aquí están los detalles.

Suponga que sus datos muestreados están representados por las secuencias:

$d_1=d_1[n_1],d_1[n_2],...d_1[n_N]$

$d_2=d_2[n_1],d_2[n_2],...d_2[n_N]$

$d_3=d_3[n_1],d_3[n_2],...d_3[n_N]$

...

$d_M=d_M[n_1],d_M[n_2],...d_M[n_N]$

donde son datos de M ensayos y son puntos de tiempo muestreados, luego:$d_1,...d_M$$n_1,...n_N$

$F_1 = \sum_{j=1}^M{|\mathcal{F}\{d_j\}|} \neq |\mathcal{F}\{\sum_{j=1}^M{d_j}\}| = F_2$

Entonces, mientras que la transformación es lineal,no es.$\mathcal{F}$$|\mathcal{F}|$

Además, mientras que es real para todo , no lo es, peroes.$d_j[n_i]$$i,j$$\mathcal{F}\{d_j\}$$|\mathcal{F}\{d_j\}|$

En cuanto a lo que debe hacer, debe tomar la transformada de Fourier de las pruebas individuales (a través de FFT), obtener la amplitud de las pruebas individuales y promediarlas juntas.

Finalmente, qué es . es un término corto para el espectro de frecuencia de las señales "naturales" (generalmente las personas piensan en imágenes).$1/f$$1/f$

Cuando la gente dice que hay un componente grande , significa que la amplitud en función de la frecuencia se parece a . Es totalmente ondulado ... probablemente proveniente de un biólogo: p$1/f$$1/f$

La transformada inversa de Fourier de es alguna función de signo, pero eso es inútil. ¡Es una función de signo imaginario! Las funciones reales generan transformada simétrica de Fourier.$1/f$

De hecho, decir que el espectro es , le dice algo sobre la señal, pero no le permite recuperar la señal. Todo lo que sabes es que. Esto no le permite determinar de forma única porque toda la información de fase se ha ido, y sabemos que la estructura de una señal depende en gran medida de su fase .$1/f$$|\mathcal{F}\{x(t)\}| = |1/f|$$x(t)$

¿Qué te dice ? Simplemente que contiene mucha frecuencia baja y poca frecuencia alta.$1/f$

Una pregunta tan importante, ¿qué te compra el promedio? y lo más importante es cómo interpretar el resultado? Sintonice mañana para una discusión más profunda: p

Primero, el FFT es un algoritmo. ¡La transformación se llama Transformada de Fourier! Representa el histograma de las señales. En el caso discreto, una lectura alta en los dominios de frecuencia significa mucha energía a esa frecuencia.

No debe promediar los datos antes de la FFT ya que la información de fase causará cambios significativos en los datos.

Imagine 2 muestras, cada una de las cuales consiste en un coseno puro. En el mundo real, nunca capturará este coseno exactamente en el mismo punto de partida. Un coseno se desplazará reletivo a otro (o ambos tienen diferentes turnos reletivos al comienzo. Matemáticamente esto significa y1 = cos (wt-A) y2 = cos (wt-B) donde A y B son desplazamientos. En su modelo estos dos aparecen mejor como lo mismo. Con un poco de matemática puedo elegir estos valores para que y2-y1 = 0. El promedio de cero es cero y no es lo que quieres. Este es el problema de la fase.

Si su objetivo es encontrar el espectro promedio que debe promediar a través de los espectros, ¡no promedie las señales!

A menos que esté completamente fuera de lugar o malinterprete su pregunta, la respuesta es sí : por la linealidad de la DFT, promediar las señales a tiempo y luego tomar la DFT del promedio es equivalente a promediar las DFT de las señales.

Para mostrar esto, definamos algunas variables:

• $x_{n}[\ell]$ : -muestra de dominio de tiempo de prueba en el tiempo$\ell^{th}$$n$
• $X_{k}[\ell]$ : -muestra de dominio de frecuencia auricular a frecuencia$\ell^{th}$$k$

La señal "promedio" en el dominio del tiempo viene dada por . Tomando su DFT, tenemos$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} x_{n}[\ell]$

$\sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{L} \sum_{\ell}^{L} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N}$ .

Cambiando el orden de las sumas, podemos escribir

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N},$

pero esto es lo mismo que

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} X_{k}[l]$

que es lo mismo que promediar los DFT de cada trival. Esto es lo que queríamos mostrar.