¿Cómo puedo diseñar filtros de interpolación Nyquist con el algoritmo Parks-McClellan?

Podemos diseñar fácilmente filtros de interpolación que obedezcan ciertas restricciones de dominio de frecuencia utilizando el algoritmo Parks-McClellan . Sin embargo, no está claro de inmediato cómo aplicar restricciones de dominio de tiempo; en particular, estoy interesado en generar filtros Nyquist. Entonces, si estoy sobremuestreando por un factor de N, quiero que el filtro tenga cruces por cero en kN, para enteros distintos de cero k(esto asegura que las muestras de entrada a mi interpolador aparecerán en la secuencia de salida).

He visto a Harris ¹ hablar sobre una técnica para diseñar filtros de media banda, es decir, el caso especial donde N=2. ¿Hay una solución general para esto? (Sé que podemos diseñar fácilmente filtros con el método de la ventana, pero eso no nos da el mismo control).

_{[1] Procesamiento de señal multirate para sistemas de comunicación , pp. 208-209}

Un método de diseño, aunque uno que se limita a potencias de dos, sería comenzar con un filtro de media banda, insertar ceros entre sí (crea una réplica espectral), y luego convolverlo con un segundo filtro de media banda que tenga una banda de transición más ancha. Repita el proceso hasta llegar a la potencia requerida de 2.

Aquí hay un ejemplo que crea un filtro de paso bajo con Fc = fs / 8 y cruces por cero cada 4 muestras:

b0=remez(34,[0 .45 .55 1],[1 1 0 0])';
b1=remez(6,[0 .25 .75 1],[1 1 0 0])';
b0up = zeros(1,2*length(b0)-1);
b0up(1:2:end) = b0;
B0up=freqz(b0up);
b2 = conv(b0up,b1);  % length = 34*2+1 + 6 = 75 coefficients

Un método para obtener los cruces por cero deseados es hacer un diseño híbrido.

Comience con un filtro de media banda Parks-McLellan / Remez con el mismo peso que la banda de paso y la banda de detención. Como es un filtro de media banda , tendrá ceros en muestras alternativas. Luego puede interpolar el dominio del tiempo mediante sin (x) / x rellenando con cero en el dominio de frecuencia.

Ejemplo: crear un filtro de paso bajo fs / 12 con cruces por cero cada 6 muestras.

% prototype Remez filter 
taps=18; 
b = remez(taps,[0 .4 .6 1],[1 1 0 0])';  
% force halfband condition of zeros at every other sample
b(2:2:end)=0;  b(taps/2+1)=.5; 

% zero pad the time domain to give the Gibbs ripple some deadspace
B=fft(b,4*(taps+1) ); 
% split the frequency domain into two halves, split the Nyquist bin
Blo = [ B(1:length(B)/2) 0.5*B(length(B)/2+1) ]; 
Bhi = [ 0.5*B(length(B)/2+1) B(length(B)/2+2:length(B))  ]; 

% insert padding at pi to increase size 3x
Bpad = [ Blo zeros(1,3*length(B)-length(Blo)-length(Bhi) ) Bhi];  
bint = real( ifft(Bpad) ); % this has zeros every 6 samples

El filtro resultante está cerca, pero no es tan bueno como el prototipo en términos de onda de paso / banda de paso. La interpolación sin (x) / x introduce algún timbre de bajo nivel. Es posible que deba sobredesignificar ligeramente el filtro prototipo para obtener el nivel de atenuación requerido en el filtro interpolado.