¿Cuál es la explicación más lúcida e intuitiva para los diversos FT: CFT, DFT, DTFT y la serie Fourier?

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Incluso después de haberlos estudiado durante bastante tiempo, tiendo a olvidar [si estoy fuera de contacto por un tiempo] cómo se relacionan entre sí y qué significa cada uno [ya que tienen nombres que suenan tan similares]. Espero que encuentres una explicación que sea tan intuitiva y matemáticamente hermosa que se incrustará en mi memoria para siempre y este hilo servirá como un refresco súper rápido cada vez que yo [o cualquier otra persona] lo necesite.

fourier-transform

— Vighnesh
fuente

2

Probablemente debería comenzar con la serie de Fourier

— endolito el

¿Conoces la dualidad de Pontryagin?

— Lorem Ipsum

@yoda - No. ¿Podría por favor explicarme o señalarme algunas buenas referencias? [Voy por supuesto Google él hacia fuera.]

— Vighnesh

1

"Steve en el procesamiento de imágenes": Fourier transforma las direcciones exactamente en esta pregunta.

— nobar

No sé cuándo volver a escribir una respuesta aquí (a menos que sea necesario). Sin embargo, se da una respuesta posible en ¿Puedo estudiar la Transformada de Fourier de tiempo continuo y tratar el resto como casos especiales siguiendo la pista de dualidad Pontryagin propuesta por @LoremIpsum

— Laurent Duval

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Escribí este folleto como complemento de Oppenheim y Willsky . Consulte la Tabla 4.1 en la página 14, que se reproduce a continuación. (Haga clic para ampliar la imagen.) Escribí esa tabla específicamente para responder preguntas como la suya.

Tenga en cuenta las similitudes y diferencias entre las cuatro operaciones:

"Serie": periódica en el tiempo, discreta en frecuencia
"Transformar": aperiódico en el tiempo, continuo en frecuencia
"Tiempo continuo": continuo en el tiempo, aperiódico en frecuencia
"Tiempo discreto": discreto en tiempo, periódico en frecuencia

¡Espero que encuentres útiles estas notas! Por favor, siéntase libre de distribuir como desee.

— Steve Tjoa
fuente

1

Buen resumen Tenga en cuenta que la "Serie de Fourier de tiempo discreto" a la que se hace referencia en la tabla anterior generalmente se conoce como la transformada de Fourier discreta (DFT).

— Jason R

Para analizar un poco, esta respuesta es de hecho un buen resumen, como dice Jason R, y algo que vale la pena tener permanentemente en dsp.SE para que todos puedan vincularlo para referencia futura, pero no responde realmente a la pregunta que se hizo para una explicación intuitiva de estos problemas (la lucidez es presumiblemente una ventaja adicional y no es absolutamente necesaria, ya que se menciona en el título pero no en el texto de la pregunta).

— Dilip Sarwate

2

Una gran respuesta Steve: creo que esto es lo que está buscando el OP. Corto, dulce y al punto.

— Spacey

¿Es un error de imprenta en la parte inferior variable de la página 2 de su folleto? Se dice: . ¿No significaba ?

x (t) b (t - t_{0}) = x (t_{0}) b (t - t_{0})

$x(t)b(t-t_0)=x(t_0)b(t-t_0)$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) b (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)b(t-t_0)dt = x(t_0)$

— mbaitoff

1

No es un error de imprenta. Ambas afirmaciones son ciertas, pero tenía la intención de escribir la primera porque esa sección de la guía describe las definiciones axiomáticas básicas del impulso unitario. La segunda declaración se deriva de esas definiciones: .

\int_{\infty}^{\infty} x (t) δ (t - t_{0}) d t = \int_{\infty}^{\infty} x (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0}) \int_{\infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = \int_{\infty}^{\infty} x(t_0)\delta(t-t_0) dt = x(t_0) \int_{\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

— Steve Tjoa

9

Para una explicación lúcida y correcta de estos conceptos, tendría que revisar algunos de los libros de texto estándar (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis o "Comprender el procesamiento de señales digitales" de Richard Lyons, que es un libro muy bueno pero relativamente menos popular) . Pero suponiendo una discusión en la mesa de café, haré algunas declaraciones extremadamente flojas en lo que sigue. :)

Para una señal de tiempo continua general, no esperaría que ninguna frecuencia en particular estuviera ausente, por lo que su Transformada de Fourier (o la Transformada continua de Fourier) sería una curva continua con soporte posiblemente -inf a + inf.

Para una señal continua periódica (período T), Fourier expresó la señal como una combinación de senos y cosenos que tienen el mismo período (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...). Efectivamente, el espectro de esta señal es una serie de picos en las ubicaciones 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... Esto se llama la representación de la serie de Fourier. Hay un teorema que dice que la representación en serie de Fourier de cualquier señal de tiempo continua periódica converge a la señal a medida que incluye más y más senos y cosenos (o exponenciales complejos) en el sentido del cuadrado medio.

Moral hasta ahora: periodicidad en el tiempo => espectro puntiagudo

En tiempo discreto ... ¿Qué sucede si muestreas una señal de tiempo continuo? Debe quedar claro que para una señal suficientemente alta, no podrá reconstruir la señal. Si no hace suposiciones acerca de las frecuencias en la señal, dada la señal muestreada, no hay forma de decir cuál es la señal real. En otras palabras, diferentes frecuencias se representan de manera equivalente en la señal de tiempo discreto. Revisar algunas matemáticas te dice que puedes obtener el espectro de la señal muestreada de la señal continua original. ¿Cómo? Cambia el espectro de la señal de tiempo continuo en cantidades + -1 / T, + -2 / T, ... y agrega todas las copias desplazadas (con algo de escala). Esto le brinda un espectro continuo que es periódico con el período 1 / T. (nota: el espectro es periódico como resultado del muestreo en el tiempo, la señal de tiempo no t tiene que ser periódico) Dado que el espectro es continuo, también puede representarlo con solo uno de sus períodos. Esta es la DTFT (Transformada de Fourier "Tiempo discreto"). En el caso de que su señal de tiempo continuo original tenga frecuencias no superiores a + -1 / 2T, las copias desplazadas del espectro no se superponen y, por lo tanto, puede recuperar la señal de tiempo continuo original seleccionando un período del espectro ( el teorema de muestreo de Nyquist).

Otra forma de recordar: señal de tiempo puntiagudo => periodicidad en el espectro

¿Qué sucede si muestreas una señal periódica de tiempo continuo con un período de muestreo T / k para algunos k? Bueno, el espectro de la señal de tiempo continuo era puntiagudo, y muestrearlo por algún divisor de T significa que los picos en las copias desplazadas caen exactamente en múltiplos de 1 / T, por lo que el espectro resultante es un espectro periódico puntiagudo . señal de tiempo periódica puntiaguda <=> espectro periódico puntiagudo (suponiendo que el período y la frecuencia de muestreo están "muy bien relacionados" como se indicó anteriormente). Esto es lo que se conoce como la DFT (Transformada discreta de Fourier). FFT (Fast Fourier Transform) es una clase de algoritmos para calcular el DFT de manera eficiente.

La forma en que se invoca DFT es la siguiente: supongamos que desea analizar una secuencia de N muestras a tiempo. Podría tomar DTFT y lidiar con uno de sus períodos, pero si supone que su señal es periódica con el período N, DTFT se reduce a DFT y solo tiene N muestras de un período de DTFT que caracterizan completamente la señal. Puede poner a cero la señal a tiempo para obtener un muestreo más fino del espectro y (muchas más propiedades similares).

Todo lo anterior es útil solo si se acompaña de un estudio de DSP. Lo anterior son solo algunas pautas muy aproximadas.

— rk2
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$x(t)$ $T$ $t$ $x(t+T) = x(t)$ $\cos(2\pi t/T)$ $a_n\cos(2\pi nt/T)$ $a_n$

\int_{0}^{T} (x (t) - a_{n} \cos (2 π n t / T))^{2} d t,

$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$

squared error = \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \int_{0}^{T} \cos^{2} (2 π n t / T) d t .

$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

E

$E$

x (t)

$x(t)$

T / 2

$T/2$

squared error = E - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \frac{T}{2} .

$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$

a > 0

$a > 0$

a z^{2} + b z + c

$az^2 + bz + c$

z = - b / 2 a

$z = -b/2a$

(- b / 2 a) \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} / 2 a

$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$

a_{n}

$a_n$

a_{n}

$a_n$

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t .

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

b_{n}

$b_n$

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \sin (2 π n t / T) d t

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$

x (t)

$x(t)$

b_{n} \sin (2 π n t / T)

$b_n\sin(2\pi nt/T)$

x (t)

$x(t)$

— Dilip Sarwate
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4

Endolith es correcto en eso, si realmente comienzas con la serie de Fourier y ves cómo se extiende a la transformación de Fourier, entonces las cosas comienzan a tener mucho sentido. Doy una breve explicación de esto en la primera mitad de esta respuesta .

Una buena manera (quizás no simple) de ver la familia de transformadas de Fourier (con lo que me refiero a los 4 que ha enumerado anteriormente), es a través de las gafas de dualidad Pontryagin . Le brinda una buena manera de recordar las diferentes transformaciones de los dominios originales y transformados.

$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

$n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{T}$

Esta respuesta no está completamente completa y tal vez me basaré en esta respuesta para aclarar algunos puntos cuando tenga tiempo, pero hasta entonces, esto podría ser algo para analizar hasta que obtenga una explicación más intuitiva de otra persona. También intente leer variantes del análisis de Fourier en Wikipedia.

— Lorem Ipsum
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3

Creo que lo más importante es comprender fundamentalmente por qué necesitamos transformaciones de Fourier. Son una de las muchas transformaciones de señal posibles, pero también una de las más útiles. Una transformación básicamente transforma una señal en otro dominio que puede darnos una idea sobre la señal en ese dominio, o puede ser que el dominio es matemáticamente fácil de trabajar. Una vez que hayamos terminado de trabajar en ese dominio, podemos tomar la transformación inversa para llegar al resultado deseado más fácilmente.

El bloque de construcción más básico en la teoría de Fourier son los monótonos (senos y cosenos). Podemos descomponer una señal en sus componentes de frecuencia (monótonos) usando la matemática de Fourier. Entonces, la transformación de Fourier básicamente transforma una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. El coeficiente de cada uno de los monótonos en la serie de Fourier nos informa sobre la fuerza de ese componente de frecuencia en la señal. Las transformadas de Fourier (CFT, DFT) nos dan explícitamente una vista de dominio de frecuencia de la señal. En la naturaleza, los senos y cosenos son las formas de onda prominentes. Las señales sintéticas como la onda cuadrada, o las señales que tienen fluctuaciones agudas, tienen menos probabilidades de ocurrir naturalmente y no sorprendentemente componen un rango infinito de frecuencias como se explica muy claramente por las transformadas de Fourier. La gente tenía dudas sobre si alguna señal puede ser miserable como suma de senos / cosenos. Fourier mostró que la forma de onda cuadrada (que está muy lejos de los senos / cosenos) puede ser. El ruido blanco contiene todas las frecuencias con igual intensidad.

Además, si está trabajando con series de Fourier, entonces los coeficientes junto con el término de fase pueden verse como los necesarios para superponer adecuadamente las formas de onda sinosoidales constituyentes, de modo que la superposición sea de hecho la señal requerida de la que está tomando la transformación. Cuando se trabaja con transformadas de Fourier, los números complejos tienen implícitamente los términos de fase y la magnitud requerida de cada uno de los monótonos. (la integración es más o menos como la sumatoria. continua => integración, discreta => sumatoria)

Creo que una vez que comprenda el tema de un concepto, el resto son solo detalles que usted mismo tendrá que entender al leer libros. Leer sobre la aplicación de las transformadas de Fourier en varios campos le dará una mejor percepción.

— abhishek
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2

Un DFT es una transformación de un vector de pares de números de un espacio ortogonal a otro. Muy comúnmente hecho como un cálculo numérico. Por alguna razón, al tomar un grupo de números del mundo real, el segundo grupo de números a menudo resulta ser lo suficientemente cercano a algo bastante útil.

Recuerdo la efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales , especialmente con respecto a la aplicación del DFT a muchos sistemas que parecen estar aproximados por varios tipos de ecuaciones diferenciales de segundo grado, incluso el sonido de la cuchara de café que acabo de soltar.

Los otros 3 XYZ-FT hacen suposiciones sobre la existencia de algunas entidades míticas infinitas para ayudar a que las soluciones simbólicas encajen en la pizarra antes de que el café se enfríe demasiado. Son las "vacas esféricas" del procesamiento de señales. Las series DTFT y Fourier pretenden que un vector puede extenderse infinitamente a costa de la densidad infinita de la otra entidad. La serie de Fourier pretende que ambas entidades pueden ser funciones continuas infinitas.

Tome suficientes cursos de matemáticas e incluso podría determinar todas las definiciones y suposiciones requeridas para hacer que estas entidades ficticias sean duales exactas y completas en algún sentido.

— hotpaw2
fuente

¿Qué se entiende por "espacio ortogonal" en su primera oración? ¿Cuál es el espacio ortogonal a , o qué propiedad especial no tiene el espacio que está que lo distinguen de otros espacios de ejecución de la fábrica al otorgar en ella el adjetivo "ortogonal"?

— Dilip Sarwate

¿Quizás "ortonormal" es el término más correcto para los espacios vectoriales?

— hotpaw2

x

$\mathbf x$

y

$\mathbf y$

⟨ x, y ⟩ = 0

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=0$

A

$A$

A A^{T}

$AA^T$

A A^{T}

$AA^T$ los vectores en el espacio son ortogonales entre sí o son ortogonales y tienen una unidad de longitud también? Si es así, ¿puedes dar un ejemplo de ese espacio?

— Dilip Sarwate

El producto de punto entre todos los senos o cosenos que son exactamente periódicos en una longitud de apertura DFT es cero, excepto para funciones de frecuencia idénticas. Incluso si N es mayor que la cantidad de granos de café en la bolsa. Conviértelos en unidades de amplitud para ortonormal

— hotpaw2

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$