Derivando transformadas discretas de Fourier en 2D

Tengo un problema en DFT. Fue una de mis preguntas de exámenes del año pasado.

Pregunta:

Sea la transformación de Fourier en 2-D de una función continua en 2- . Derive en términos de la transformación de Fourier 2D de cada una de las siguientes funciones$F(u,v)$$f(x,y)$$F(:,:)$

1)$f(x,-2y)$

2)$f(x+2y,y)$

Sé cómo hacer transformaciones de Fourier en 1-D pero no en 2-D. No estoy seguro de cómo comenzar y necesito alguna orientación.

Para la segunda parte, este fue mi enfoque. Avíseme si está bien o corríjame si está mal.

Sea $τ= x + 2y$ tanto, $x = τ-2y$ y $dx = dτ$

Aquí está el primero:

Por definición,

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = \iint_{- \infty}^{\infty} f(x,-2y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$

let y viceversa$\tau = -2y$$y=\frac{-\tau}{2}$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = \iint_{- \infty}^{\infty} f(x,\tau)e^{-j2\pi (ux-\frac{v\tau}{2})}dxd(-\frac{\tau}{2})$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = -\frac{1}{2}\iint_{- \infty}^{\infty} f(x,\tau)e^{-j2\pi (ux-\frac{v\tau}{2})}dxd\tau$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = -\frac{1}{2} F(u,-\frac{v}{2})$

El otro será más difícil, pero te lo dejaré a ti.