¿Elecciones de convención y notación para la transformada de Fourier?

Las definiciones de la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier que aprendí en la universidad fueron

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

Las características más destacadas de esta convención son

Transformación no unitaria; las unidades de dominio de frecuencia son radianes (la variable es ) $\omega$
Las unidades de "dominio de tiempo" están en el tiempo (la variable es ) $t$
Las transformaciones de funciones se denotan con letras mayúsculas ( vs. ) $F$ $f$
La en denota estrictamente que la función es una transformada de Fourier $j$ $F(j\omega)$
Y, por supuesto, la convención usual de EE que . $j=\sqrt{-1}$

Hoy en día uso una convención muy diferente, esencialmente la que se usa en las wikipedias :

Las características de esta convención son

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$

Transformada unitaria; las unidades de dominio de frecuencia son frecuencia normalizada (la variable es ) $\xi$
Las unidades de "dominio de tiempo" no tienen unidades (la variable es ) $x$
$\hat{f}$ $f$
$\xi$ $x$

Prefiero mucho esta convención por varias razones.

El uso de una convención unitaria aumenta en gran medida la simetría y la claridad de los duales de Fourier: compare
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$
$x$ $t$ $t$
Encuentro que las letras mayúsculas son más útiles para denotar variables / funciones de valores discretos que para representar funciones transformadas.
$f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
$\pi$

Por supuesto, sería bastante vano de mi parte considerar que mi elección de convención es superior a la utilizada por otros. Pero me cuesta encontrar buenas razones para preferir la convención que aprendí originalmente en la universidad (es decir, razones que no involucran la tradición).

$F(j\omega)$

¿Alguien puede pensar en otras razones para preferir la convención "tradicional" (no unitaria)? ¿Es esta convención "tradicional" la misma que aprendió en un curso de procesamiento de señales (si tomó una)? ¿Qué convención que prefiere?

fourier-transform frequency

— rtollert
fuente

Las preguntas que solicitan opiniones personales no son realmente constructivas para este sitio. La respuesta es que realmente no importa cuál sea su convención, siempre que la defina correctamente, la use de manera consistente y, en muchos casos, se apegue a la notación común utilizada en su campo. Lo importante es no inventar nuevas anotaciones locas para ser intencionalmente obtuso. No estoy seguro de cómo las preferencias y opiniones personales son útiles en todo esto ...

— Lorem Ipsum

Puedo entender el deseo de evitar la mera opinión, pero creo que hay una pregunta legítima sobre por qué las convenciones tradicionales son lo que son: es poco probable que se definan solo como accidentes históricos. Estaría dispuesto a reescribir esta pregunta para evitar solicitar opiniones, y centrarme en la cuestión de cómo surgieron estas decisiones de convención / notación en la literatura de procesamiento de señales.

— rtollert

Olvidó reemplazar todos los 2π con τ . : D

— endolito

@endolith Me ganaste :)

— datageist

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

La elección de la convención debe ser la más apropiada (o familiar) para la audiencia con la que está tratando de comunicarse.

— hotpaw2
fuente

Una cosa sobre el uso de x (t) para una señal es el paralelo entre

$y = x^2$

$y(t) = x(t)^2$

donde x sigue siendo una entrada e y sigue siendo una salida, solo en este caso son señales en lugar de números.

— endolito
fuente