¿Cuál es la diferencia entre PSD y la magnitud al cuadrado del espectro de frecuencia?

El espectro de potencia de una señal se puede calcular tomando la magnitud al cuadrado de su transformada de Fourier. Siendo una persona de audio, la señal de interés para mí sería una serie de tiempo.

¿Cómo difiere esta representación de una PSD (densidad espectral de potencia) y, lo que es más importante, en qué situaciones prácticas se debe utilizar una PSD en lugar del espectro de potencia descrito anteriormente?

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La densidad espectral de potencia describe la densidad de potencia en un proceso aleatorio estacionario $X(t)$ por unidad de frecuencia. Según el teorema de Wiener-Khinchin , se puede calcular de la siguiente manera para un proceso aleatorio estacionario de sentido amplio :

S_{x x} (f) = \int_{- \infty}^{\infty} r_{x x} (τ) e^{- j 2 π f τ} d τ

$S_{xx}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} r_{xx}(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau$

donde $r_{xx}(\tau)$ es la función de autocorrelación del proceso $X(t)$ :

r_{x x} (τ) = E (X (t) X (t - τ))

$r_{xx}(\tau) = \mathbb{E}\left(X(t)X(t - \tau)\right)$

Esto solo es válido para un proceso estacionario de sentido amplio porque su función de autocorrelación es solo una función del retardo de tiempo $\tau$ y no del tiempo absoluto $t$ ; Dicho de otra manera, esto significa que sus estadísticas de segundo orden no cambian en función del tiempo.

Dicho esto, si tiene un modelo estadístico suficientemente detallado y preciso para su señal, puede calcular su densidad espectral de potencia utilizando la relación anterior. Como ejemplo, esto puede usarse para calcular la densidad espectral de potencia de las señales de comunicaciones, dadas las estadísticas de los símbolos de información transportados por la señal y cualquier forma de pulso empleada durante la transmisión.

Sin embargo, en la mayoría de las situaciones prácticas, este nivel de información no está disponible, y uno debe recurrir a la estimación de la densidad espectral de potencia de una señal dada. Un enfoque muy directo es tomar la magnitud al cuadrado de su transformada de Fourier (o, tal vez, la magnitud al cuadrado de varias transformadas de Fourier de corto plazo y promediarlas) como la estimación de la PSD. Sin embargo, suponiendo que la señal que está observando contiene algún componente estocástico (que suele ser el caso), esto nuevamente es solo una estimaciónde lo que el verdadero PSD subyacente se basa en una sola realización (es decir, una sola observación) del proceso aleatorio. Si el espectro de potencia que calcula tiene alguna semejanza significativa con el PSD real del proceso depende de la situación.

Como señala esta publicación anterior , hay muchos métodos para la estimación de PSD; cuál es el más adecuado depende del carácter del proceso aleatorio, de cualquier información a priori que pueda tener y de las características de la señal que más le interesen.

— Jason R
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Estoy de acuerdo, pero me gustaría señalar que cualquier medida exploratoria del ruido / señal del mundo real es solo una estimación. Aceptando que necesitamos formular "lo suficientemente bueno"; Un criterio. Luego podemos bajar del tren de ruido y aceptar una estimación que cumpla con la "cifra de ruido" de la aplicación. Acepta algunos fracasos en la vida y puedes obtener algunas victorias.

— rrogers