¿Cómo manejas las frecuencias negativas en el espectro de potencia de una señal compleja?

Cuando aplicamos la operación DFT en una señal real para obtener , luego tomamos la magnitud cuadrada de , , el espectro de potencia es simétrico. Puede tomar las frecuencias positivas o negativas como la información de frecuencia en . $x[n]$ $X[k]$ $X[k]$ $\lvert X[k]\rvert^2$ $X[k]$

Sin embargo, esto no es cierto para las señales de valores complejos; El espectro de potencia no es simétrico.

En este caso, ¿cómo determinaría los componentes de frecuencia en la señal original?
¿Podemos soltar la parte de frecuencia negativa?

fft frequency-spectrum

— Miguel
fuente

Tenga en cuenta que las frecuencias positivas y negativas son combinaciones lineales de seno y coseno, por lo tanto, se requieren frecuencias positivas y negativas para obtener la fase correcta. Para señales complejas, debe agregar la potencia en ambas frecuencias para obtener la potencia total a esa frecuencia.

— Christopher Crawford

Respuestas:

Para una señal real, el contenido en las frecuencias negativas generadas usando el DFT es redundante. Esto se debe a la conocida propiedad de las señales reales con respecto a la familia de transformadas de Fourier: sus transformaciones son simétricas hermitianas . Es decir, para cualquier señal real , $x[n]$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N} = (\sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j (- 2 π n k / N)})^{*} = X [- k] = X [N - k]

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j2\pi n k / N} = (\sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j(-2\pi n k / N)})^* = X[-k] = X[N - k]$

Por lo tanto, si su entrada es una señal real, toda la información está en los contenedores de frecuencia positiva; Las frecuencias negativas pueden descartarse para muchas aplicaciones. Sin embargo, no existe tal propiedad para señales complejas generales. Pueden tener espectros de potencia asimétricos con respecto a la frecuencia cero, por lo que no puede descartar ninguno de los intervalos de frecuencia del espectro de potencia de una señal compleja sin pérdida de información.

— Jason R
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Creo que la relación entre y es:

X [k]

$X[k]$

X [N - k]

$X[N-k]$

X [N - k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n (N - k) / N} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π N n / N} e^{j 2 π n k / N} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{j 2 π n k / N} = (X [k])^{*}

$X[N-k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j2\pi n (N-k) / N} = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi N n/N} e^{j2\pi n k / N} =\sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{j2\pi n k / N}=(X[k])^*$

— Mike

Estás en lo correcto. Dejé ese paso intermedio; muestra cómo se pasa de manera efectiva a .

X [- k]

$X[-k]$

X [N - k]

$X[N-k]$

— Jason R

En caso de real, podemos caer, por ejemplo, en la práctica cuando usa el analizador de espectro, para la onda real es más fácil ver la mitad porque el otro lado es espejo. Pero en caso de una señal compleja, no hay respuestas reales del dispositivo y tiene estudios teóricos, por lo que debe mantener ambos lados.

— Hossein
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Si tengo una señal compleja compuesta de dos frecuencias cercanas, en el PSD, encontré que el lado de frecuencia positiva muestra dos picos, mientras que el lado negativo muestra un pico. Entonces, ¿puedo llegar a la conclusión de que la señal tiene dos frecuencias?

— Mike

No, no se puede decir porque la señal es compleja.

— Hossein

¿Cuál es el significado físico de la frecuencia negativa?

— Mike

@Mike dsp.stackexchange.com/questions/431/…

— GummiV

@ Mike Creo que puedo haber respondido eso ... [por favor ver] ( dsp.stackexchange.com/questions/431/… )

— Spacey