Identidades de transformada de Fourier

Sabemos lo siguiente,

F { x ( - t ) } = X ( - f ) F { x ∗ ( t ) } = X ∗ ( - f

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

Ahora, si por alguna señal

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

Entonces, ¿es seguro asumir lo siguiente?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

¿o depende del tipo de señal?

$X(f)$

En general: si es real en un dominio, es conjugado simétrico en el otro.

Sí, si las ecuaciones. (2) y (3) se mantienen para cualquier "tipo de señal" (lo que hacen), luego (5) deben mantenerse.

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

Las respuestas de @Deve y @Hilmar son técnicamente perfectas. Me gustaría proporcionar algunas ideas adicionales, con algunas preguntas.

Primero, ¿conoce una señal que satisfaga esta identidad de tiempo invertido / conjugado :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

Una primera idea obvia es elegir entre señales reales y simétricas. Uno natural en el marco de Fourier es el coseno .

Ahora, pongámonos un poco más complejos (juego de palabras intencionado).

$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

(llamado complejo exponencial o cisoide ) también es una solución . Y su transformación de Fourier (como una función generalizada) es de hecho real (aunque de alguna manera "infinita"). Yendo más allá, cualquier combinación lineal de cisoides con coeficientes reales lo hará.

Su pregunta ilustra cómo la dualidad de Fourier es importante y cómo usarla puede simplificar algunos problemas. Como se ve en SIMETRÍA DE LA DTFT PARA SEÑALES REALES :

$x(n)$

$x$$t$$f$

También se llama sacacorchos / espiral Heyser .