Efecto de la ventana sobre el ruido

Entiendo que truncar una señal en el tiempo 'difumina' la respuesta de frecuencia dependiendo de la ventana elegida. En general, cuanto más corta es la duración de la señal, más 'aplanada' la respuesta de frecuencia, como se ve aquí ( http://www.thefouriertransform.com/pairs/box.php ):

Sin embargo, ¿cómo afecta la longitud de la ventana a la respuesta de frecuencia del ruido (gaussiano blanco aditivo con límite de banda)? Suponga una ventana rectangular de amplitud , duración , y un lóbulo principal en el dominio de frecuencia con amplitud y ancho :$A$$T$$\operatorname{sinc}(\cdot)$$A\,T$$\frac{2}{T}$

$$\begin{align} \mathscr{F}\bigg\{A \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t}{T}\right) \bigg\} &= \int_{-\infty}^{+\infty} A \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t}{T}\right) \, e^{-j2\pi ft} \ dt \\ \\ &= \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{+T}{2}} A \, e^{-j2\pi ft} \ dt \\ \\ &= A \, \frac{\sin(\pi fT)}{\pi f} \\ \\ &= A \,T \, \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$$

Si fue reparado y fue reducido a la mitad, eso resultaría en un de amplitud reducida a la mitad pero duplicado el ancho del lóbulo principal. Entonces parecería que hacer que este resulte en la 'misma' amplitud de ruido en el dominio de frecuencia debido a la cancelación de . Es decir, el ancho de banda de ruido efectivo que contribuye a una frecuencia dada se duplica, pero la contribución por Hz de ese ancho de banda se reduce a la mitad.$A$$T$$\operatorname{sinc}$$\operatorname{sinc}$$\frac{1}{2}\cdot 2 = 1$

1. ¿Es eso cierto? Y en general, ¿cómo afecta la duración y la forma de una ventana a la respuesta de frecuencia del ruido?
2. Si (1) es verdadero, ¿esto implica que reducir a la mitad la duración de la ventana también reducirá a la mitad la SNR de una única sinusoide? (Debido a que la magnitud sinc de la señal se reduce a la mitad, pero el ruido de fondo permanece constante)

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Editar: Un punto que me di cuenta es que puede haber interferencia destructiva entre los componentes de ruido de diferentes frecuencias, y por lo tanto, este no es un análisis tan simple como simplemente convolucionar la transformación de Fourier de la función de ventana con la raíz cuadrada de la densidad espectral de potencia de ruido. ¿Quizás podría suponerse una fase de ruido distribuida uniformemente en cada frecuencia?

No tengo acceso, pero ¿quizás este documento es útil? http://ieeexplore.ieee.org/document/199437/

ACTUALIZACIÓN: Mi respuesta anterior no respondió la pregunta del OP. Lo siguiente aborda la pregunta directamente:

Línea de fondo:Antes de la ventana en el tiempo, cada muestra en frecuencia es una variable aleatoria gaussiana IID ya que la Transformada de Fourier de una forma de onda AWGN en el tiempo da como resultado una forma de onda distribuida idénticamente en frecuencia (Gaussiana distribuida y ser blanca, lo que significa que cada muestra es independiente de la siguiente) . Después de la ventana en el tiempo, se crea una dependencia entre las muestras adyacentes en frecuencia. Pero la respuesta de frecuencia general seguirá siendo blanca (potencia uniforme e igual en general) y gaussiana. La varianza de una onda sinusoidal en relación con la varianza / Hz del proceso de ruido blanco (la varianza para un proceso AWGN se debe dar como una densidad en unidades de potencia / Hz ya que un proceso de ruido realmente blanco tiene una potencia infinita) no cambiará en relación entre sí; si la ventana causara que el poder de la onda sinusoidal se redujera a la mitad, El poder del ruido también se reduciría a la mitad. Los valores reales dependen de cómo se realiza la normalización en los cálculos, pero para un cálculo de potencia directo que es energía / tiempo, reducir la ventana a la mitad (por ejemplo) reduciría la potencia a la mitad independientemente del tipo de forma de onda involucrada (Seno, AWGN, etc.). Esto está en contraste con lo que sucedería si nos involucramos con una ventana rectangular, que está cubierta en la segunda mitad de la publicación a continuación (cuál fue mi respuesta original, pero equivocada).

Detalles:

Para señales de tiempo discretas, considere lo siguiente del Teorema de Parseval que muestra que la energía de la señal en tiempo y frecuencia es la misma:

Cuando el tiempo pasa de a que sería para el DTFT:$-\infty$$+\infty$

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X((e^{j\phi})|^2d\phi\tag{1}$$

Tenga en cuenta que el uso de la frecuencia normalizada (1) se convierte en el siguiente formulario que quizás sea más fácil de seguir:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\int_{-0.5}^{0.5}|X(f)|^2df$$

Cuando el tiempo es limitado (ventana) sería para el DFT:

$$\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\tag{2}$$

En la relación DFT anterior usando el Teorema de Parseval, estamos comparando energía; si escalamos más por M donde M representa el tiempo total de observación en muestras, entonces compararemos la potencia bajo varios tamaños de ventanas rectangulares de N muestras que podemos aplicar tanto a los tonos sinusoidales como al ruido blanco:

$$\frac{1}{M}\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{M}\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\tag{3}$$

El caso DTFT no convergerá sin ninguna ventana aplicada (energía infinita), pero podemos obtener una idea de la respuesta al considerar una ventana arbitrariamente grande (DFT) y luego comparar eso con lo que sucede cuando la reducimos con una ventana más pequeña.

Onda sinusoidal

Considere una onda sinusoidal con una ventana arbitrariamente larga N con un tiempo de observación que también es igual a N:

Si la ventana es realmente muy grande en comparación con un ciclo de la onda sinusoidal, entonces la DFT de la onda sinusoidal se aproximará bien por dos impulsos (como es el caso exactamente cuando la ventana es un número entero de ciclos de la onda sinusoidal), cada uno con una magnitud que es N / 2 veces la magnitud máxima de la onda sinusoidal en el tiempo. Por lo tanto, para una onda sinusoidal con una ventana arbitrariamente larga, el teorema de Parseval da como resultado la varianza esperada de una onda sinusoidal con el pico (usando M = N en la ecuación (3)):$A_p$

$$\frac{1}{N^2}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2 = \frac{1}{N^2}\left( \left(\frac{N}{2}A_p\right)^2+\left(\frac{N}{2}A_p\right)^2\right)=\frac{A_p^2}{2}=\sigma^2$$

A medida que reducimos la ventana para la onda sinusoidal, la respuesta de frecuencia de la onda sinusoidal se "difumina" a otros contenedores; los impulsos se convertirán en funciones Sinc en frecuencia que se ampliarán a medida que la ventana se estreche, y la potencia total al considerar la suma al cuadrado de todos los contenedores disminuirá como la relación de N / M donde M representa el tamaño original de la ventana. Tenga en cuenta que la potencia total del tamaño original de la ventana M cambiará en ambos dominios si la fracción residual de un ciclo de onda sinusoidal se vuelve significativa en comparación con el área integrada bajo un ciclo al cuadrado, como es el caso cuando la duración de la ventana no es significativamente mayor que Un ciclo de una onda sinusoidal. Si estuviéramos considerando un solo tono de frecuencia exponencial complejo, esta variación a medida que el tamaño de la ventana se redujo significativamente no ocurriría.

AWGN

Un proceso de ruido blanco gaussiano aditivo en el tiempo es un proceso de ruido blanco gaussiano aditivo en frecuencia, con la misma distribución en ambos dominios. (Por lo tanto, en lo que respecta a una función matemática, es solo un cambio de variable de tiempo a frecuencia cuando se usa una transformación de Fourier unitaria). Recordemos también lo que AWGN es conceptualmente: es blanco, lo que significa que tiene la misma densidad de potencia en TODAS las frecuencias (y, por lo tanto, potencia ilimitada y, por lo tanto, no realizable), y gaussiano, lo que significa que la distribución de su magnitud en el tiempo adquiere una forma gaussiana. . La transformación de Fourier de un proceso blanco gaussiano es también un proceso blanco gaussiano; ¿Qué significa eso? En el dominio de la frecuencia, la distribución en magnitud de la función versus la frecuencia también adquiere una forma gaussiana y, en este caso, en términos de ser "blanca" significa explícitamente que la transformación de esta función (la función del dominio del tiempo) tiene el mismo poder en TODO el tiempo. En pocas palabras, en lo que a nosotros respecta, además de la variable que define el dominio, las funciones son idénticas. Con respecto a las transformadas de Fourier, multiplicar por una ventana en un dominio es una convolución del núcleo de la ventana (Transformada de Fourier de la ventana) en el otro dominio. Cuando filtramos una señal, hacemos girar la señal con la respuesta al impulso del filtro, que es la transformada inversa de Fourier de la respuesta de frecuencia. Además, se debe tener en cuenta cuando se trabaja con el DFT como lo hemos hecho anteriormente, la convolución en sí es un Las funciones son idénticas. Con respecto a las transformadas de Fourier, multiplicar por una ventana en un dominio es una convolución del núcleo de la ventana (Transformada de Fourier de la ventana) en el otro dominio. Cuando filtramos una señal, hacemos girar la señal con la respuesta al impulso del filtro, que es la transformada inversa de Fourier de la respuesta de frecuencia. Además, se debe tener en cuenta cuando se trabaja con el DFT como lo hemos hecho anteriormente, la convolución en sí es un Las funciones son idénticas. Con respecto a las transformadas de Fourier, multiplicar por una ventana en un dominio es una convolución del núcleo de la ventana (Transformada de Fourier de la ventana) en el otro dominio. Cuando filtramos una señal, hacemos girar la señal con la respuesta al impulso del filtro, que es la transformada inversa de Fourier de la respuesta de frecuencia. Además, se debe tener en cuenta cuando se trabaja con el DFT como lo hemos hecho anteriormente, la convolución en sí es unconvolución circular

Dicho esto, considere lo que sucedería con la respuesta de frecuencia de un proceso AWGN cuando lo abramos a tiempo: antes de la ventana, que es el caso de una ventana arbitrariamente larga N con un tiempo de observación igual a N, la respuesta de frecuencia es blanco, y como señalamos anteriormente, la "respuesta de tiempo" también es similarmente "blanca" en este caso (lo que significa que se extiende a lo largo de toda la longitud con todas las muestras que tienen una distribución similar). También para tener en cuenta, en relación con nuestro intervalo de tiempo de muestra, cada muestra en el tiempo no está correlacionada con la siguiente (por lo tanto, el resultado es un espectro sobre nuestro intervalo de frecuencia digital que de hecho es blanco). La varianza de nuestra señal en el dominio del tiempo es igual a la varianza de nuestro DFT cuando escalamos el DFT en N = M como se muestra en (3).

Al igual que en el caso de la onda sinusoidal, si reducimos la ventana rectangular M a menos de M, la potencia (varianza) se reducirá en N / M, pero lo que es interesante y pertinente a la pregunta es que la respuesta de frecuencia seguirá siendo blanco y gaussiano! ¿Por qué es esto? Al reducir la ventana rectangular a M, estamos convolucionando la respuesta de frecuencia con una función Sinc (o en nuestro sistema discreto lo que se aproxima bien a una función Sinc para M grande y en realidad es una función Sinc "alias"), y como se señaló, esta es una circularcircunvolución. Por lo tanto, la respuesta de frecuencia seguiría siendo blanca, pero hay que tener en cuenta que hemos creado una dependencia para cada muestra en frecuencia de muestras adyacentes debido a la operación de convolución. Esto significa que, en frecuencia, cada muestra ya no es independiente de una muestra a otra, por lo que en el dominio del tiempo la transformación ya no será blanca, pero en el dominio de la frecuencia la distribución de amplitud seguirá siendo gaussiana y la densidad de potencia seguirá siendo uniforme sobre todas las frecuencias dentro del intervalo de frecuencia digital utilizado y, por lo tanto, todavía es de frecuencia blanca.

Por lo tanto, el impacto de una ventana rectangular en el tiempo para el dominio de la frecuencia es eliminar la independencia entre las muestras de frecuencia adyacentes y reducir la potencia general proporcionalmente en comparación con el mismo intervalo de observación (igual que se hace con una onda sinusoidal, por lo que no cambiar SNR); pero no cambia la descripción estadística de ser blanco (en frecuencia) y distribuido gaussiano. La dependencia entre muestras en frecuencia es similar al efecto de una dependencia de muestras en el tiempo: cuando tenemos una dependencia entre muestras en el tiempo tenemos un proceso de banda limitada (filtro de paso bajo) que por lo tanto podemos decir que es "frecuencia limitada" . Cuando tenemos una dependencia entre las muestras en frecuencia, tenemos un proceso de tiempo limitado; que es lo que está haciendo la ventana rectangular.

Como punto final para ayudar a ver lo que está sucediendo; a veces es más fácil pensar en un dominio que en el otro, así que considere si aplicamos la ventana rectangular a cualquier señal AWGN en frecuencia que inicialmente sea blanca (densidad uniforme sobre todas las frecuencias). Antes de la ventana, la señal en el dominio del tiempo se extendería sobre nuestro intervalo de observación completo, y el DFT se extendería sobre el espacio de frecuencia completo definido por nuestro intervalo de tiempo de muestreo. Al observar la señal en el tiempo, no importa cuánto nos acerquemos a la forma de onda del dominio del tiempo, aparecería como en la primera gráfica a continuación para AWGN, porque cada muestra es independiente de la siguiente. Y el historgrama de la distribución de magnitud es gaussiano. Si limitáramos la respuesta de frecuencia (multiplicando la respuesta de frecuencia con una ventana rectangular), veríamos en el dominio del tiempo algo similar a la segunda gráfica a continuación; en eso a medida que nos acercamos, ¡podemos ver trayectorias definidas de una muestra a la siguiente! Tenga en cuenta que el histograma de la magnitud (siempre que lo hagamos con suficientes muestras) no cambia y sigue siendo gaussiano. Y una nota importante de que nuestra función de dominio de tiempo aún se extiende sobre nuestro tiempo de observación completo con una potencia uniforme, por lo que es "blanca" en el tiempo y gaussiana, pero ya no es blanca en frecuencia. Por lo tanto, vemos directamente lo que sucedería con la respuesta de frecuencia en el caso de la pregunta del OP. En lugar de que las formas de onda por debajo sean tiempo, serían frecuencia. La respuesta de frecuencia sigue siendo uniforme en potencia (blanco) y gaussiana, pero debido a la ventana en el tiempo ahora podríamos acercarnos a la respuesta de frecuencia y observar la correlación muestra a muestra que ahora existiría y que no existía antes. a la ventana. Antes de la ventana, cada muestra en frecuencia sería independiente de las muestras adyacentes, por lo que a medida que ampliábamos la respuesta de frecuencia, seguiría pareciéndose a la primera gráfica a continuación. Pero si la función del dominio del tiempo se abre en una ventana, crearía dependencia entre las muestras adyacentes en frecuencia y cuando nos acercamos a la respuesta de frecuencia en ese caso, comenzaríamos a observar algo como el segundo gráfico a continuación:

Ruido Gaussiano Blanco (AWGN)

Ruido gaussiano de banda limitada

Una forma adicional de demostrar que la respuesta de frecuencia permanece en blanco después de multiplicar la función del dominio del tiempo con una ventana rectangular es observar la función de autocorrelación en cada caso: la función de autocorrelación para una señal AWGN es un impulso, y la respuesta de frecuencia de un impulso es Una función uniforme. Agregar ceros a la función AWGN (o la ventana equivalente) no cambia el resultado de ser un impulso y, por lo tanto, la respuesta de frecuencia seguirá siendo uniforme (blanco). Agregar ceros interpola entre las muestras existentes en frecuencia y, por lo tanto, se crean las trayectorias descritas anteriormente ... y a partir de eso, para un tamaño de ventana dado de longitud T de una señal AWGN, las muestras en frecuencia separadas por 1 / T seguirá siendo independiente,

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Publicación anterior: Lo siguiente se dio inicialmente como respuesta, pero esto es específico para convolucionarse con una ventana rectangular que no era la pregunta formulada:

La duración y la forma de una ventana afectan la densidad espectral del ruido blanco en función de la respuesta de frecuencia de la ventana directamente. Mientras que el ruido se reducirá en potencia en función de la longitud relativa de la ventana; significado como una suma de cuadrados o$\int_0^T(x^2)dx$, mientras que una onda sinusoidal dentro del ancho de banda de correlación de la ventana (es decir, la frecuencia <1 / T donde T es la longitud de la ventana) aumentaría como una suma. Prefiero considerar la ventana como un promedio móvil de tal manera que la onda sinusoidal (si es lo suficientemente baja en frecuencia) no cambia y el ruido es proporcionalmente más pequeño. Esto solo significa que normalizamos la ventana a su longitud, pero es más intuitivo que la ventana no afectaría la onda sinusoidal sino que eliminaría el ruido. La normalización, si no se usa, solo da como resultado una escala arbitraria, pero la relación de señal a ruido es lo que es de interés al final en cualquier caso.

Considere un ejemplo de proceso de ruido blanco (digital) con varianza total = 1

Si filtramos esto con un filtro de ganancia de unidad de 10 tomas (que representa el proceso de ruido blanco con una ventana rectangular discreta [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]), el ruido de toque a toque en el filtro no estaría correlacionado, entonces subiría por el sqrt (10) en desviación estándar (que representa su cantidad de magnitud), mientras que una onda sinusoidal que estaba dentro del ancho de banda del filtro estaría correlacionada y aumentaría en un factor de magnitud 10.

Observe la respuesta de frecuencia de dicho filtro, donde la ganancia de CC de 20 dB representa el factor de 10 descrito anteriormente, como (20Log10 (10)). Esta respuesta muestra exactamente lo que sucedería con el nivel de potencia de un solo tono en cualquier frecuencia dentro del espectro de filtros, mientras que la potencia de múltiples tonos sería la suma de sus potencias individuales (que es cómo manejamos lo que sucede con el ruido, como en ):$\sum x^2$

Y el efecto esperado sobre el ruido blanco

El ruido ahora tiene forma (color) debido a la naturaleza de paso bajo de la ventana, y el ruido general después del procesamiento a través de este filtro solo debería aumentar en 10log10 (10) = 10 dB. Por lo tanto, la SNR ha aumentado 10 dB desde el tono (señal) cuando aumentó en 20 dB mientras que el ruido aumentó en 10 dB, o si normalizamos al nivel del tono, el ruido disminuyó en 10 dB o 1/10 en poder total.

Probar esto experimentalmente:

noise= randn(2^12,1);
var1 = std(noise);
noisefilt = filter(ones(10,1),1,noise);
var2 = std(noisefilt);
freqz(ones(10,1));  % frequency response

Resultados en var1 = 1.00355 y var2 = 10.64.

El aumento es solo un factor de ganancia constante (y arbitrario), por lo que lo importante es cómo se efectúa el ruido en relación con una onda sinusoidal, ya que la ventana reduce la potencia de ruido del ruido blanco proporcionalmente (en este caso compare una ventana más amplia con una 1/10 de tamaño y el más pequeño elimina 1/10 de la potencia) mientras reduce la onda sinusoidal de acuerdo con una función Sinc con el primer nulo en 1 / T donde T es la longitud de la ventana. (O para cualquier ventana arbitraria basada en la transformación de Fourier de la ventana misma).

Además, como he mencionado en el comentario debajo de la publicación original, creo que Fred Harris se ocupa de las matemáticas bien en la descripción coherente frente a la ganancia no coherente, el ancho de banda equivalente de ruido, etc en los sistemas de ventanas en este trabajo clásico que me refiero a menudo: https: // www .utdallas.edu / ~ cpb021000 / EE% 204361 / Great% 20DSP% 20Papers / Harris% 20on% 20Windows.pdf

Editar : quiero corregir mi cálculo a continuación. El cálculo es correcto, pero no calcula lo que realmente se cuestiona.

Dada la señal de ruido y la ventana , la señal general es . Lo que le interesa es la expresión . (El cambio a la antigua estimación es que realmente está interesado en la variación en cada muestra de frecuencia, no en la energía de ruido general)$n(t)$$w(t)$$n(t)w(t)$$E[|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}(f)|^2]$

Entonces, hagamos el cálculo: Dónde en la última ecuación

$$\begin{align} E[|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}(f)|^2]&=E[|N(f)*W(f)|^2] &\text{Convolution theorem}\\ &=E[|\int_{\mathbb{R}}N(f_1)W(f-f_1)df_1|^2]&\text{Explicit convolution}\\ &=E[\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N(f_1)W(f-f_1)N^*(f_2)W^*(f-f_2)df_1df_2]&\text{using }|x|^2=xx^*\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}E[N(f_1)N^*(f_2)]W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2&\text{expectation into integral}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N_0\delta(f_1-f_2)W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2&\text{uncorrelated noise}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}W(f-f_1)W^*(f-f_1)df_1&\text{Sifting property of dirac}\\ &=N_0E_w \end{align}$$ $E_w=\int_\mathbb{R}\|W(f)\|^2df$Es la energía de la ventana. Entonces, verá que la variación de ruido en cada intervalo de frecuencia se amplifica por la energía general de la ventana (que me parece razonable).

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Vieja respuesta:

Esta publicación no responde la pregunta, ya que la integral final diverge. Creo que hay un error en mi cálculo, ¿tal vez alguien pueda echarle un vistazo?

Dada la señal de ruido y la ventana , la señal general es . Lo que le interesa es la expresión .$n(t)$$w(t)$$n(t)w(t)$$E[\|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}\|^2]$

Entonces, hagamos el cálculo:

$$\begin{align} E[\|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}\|^2]&=E[\|N(f)*W(f)\|^2] &\text{Convolution theorem}\\ &=E[\|\int_{\mathbb{R}}N(f_1)W(f-f_1)df_1\|^2]&\text{Explicit convolution}\\ &=E[\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N(f_1)W(f-f_1)N^*(f_2)W^*(f-f_2)df_1df_2df]&\text{explicit norm}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}E[N(f_1)N^*(f_2)]W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2df]&\text{expectation into integral}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N_0\delta(f_1-f_2)W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2df&\text{uncorrelated noise}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}W(f-f_1)W^*(f-f_1)df_1df&\text{Sifting property of dirac}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}E_wdf=\infty \end{align}$$

Donde en la última ecuación es la energía de la ventana.$E_w=\int_\mathbb{R}\|W(f)\|^2df$

Desafortunadamente, la última integral diverge. ¿Dónde está el error? No puede divergir, porque el ruido no puede tener una variación infinita.