¿Cuándo es mejor la interpolación spline cúbica que un polinomio interpolador?

La siguiente trama es una ligera variación de un ejemplo en un libro de texto. El autor utilizó este ejemplo para ilustrar que un polinomio de interpolación sobre muestras igualmente espaciadas tiene grandes oscilaciones cerca de los extremos del intervalo de interpolación. Por supuesto, la interpolación spline cúbica proporciona una buena aproximación a todo el intervalo. Durante años, pensé que la interpolación polinómica de alto orden sobre muestras igualmente espaciadas debería evitarse por la razón ilustrada aquí.

Sin embargo, recientemente encontré muchos ejemplos de señales de banda limitada en las que un polinomio de interpolación de alto orden da menos error de aproximación que la interpolación de spline cúbico. Típicamente, un polinomio de interpolación es más preciso en todo el intervalo de interpolación cuando la frecuencia de muestreo es suficientemente alta. Esto parece sostenerse cuando las muestras están igualmente espaciadas con una frecuencia de muestreo al menos 3 veces mayor que la frecuencia Nyquist de la señal. Además, la ventaja sobre la interpolación spline cúbica mejora a medida que aumenta (frecuencia de muestreo) / (frecuencia de Nyquist).

Como ejemplo, comparo la interpolación spline cúbica con un polinomio interpolador para una onda sinusoidal con una frecuencia de Nyquist de 2 Hz y una frecuencia de muestreo de 6.5 Hz. Entre los puntos de muestra, el polinomio de interpolación se ve exactamente igual a la señal real.

A continuación comparo el error en las dos aproximaciones. Como con el primer ejemplo, la interpolación polinómica es peor cerca del comienzo y el final del intervalo de muestra. Sin embargo, el polinomio de interpolación tiene menos error que una spline cúbica en todo el intervalo de muestra. El polinomio de interpolación también tiene menos error cuando se extrapola en un intervalo pequeño. ¿Descubrí un hecho bien conocido? Si es así, ¿dónde puedo leer al respecto?

interpolation

— Ted Ersek
fuente

¿Estás aproximando una fórmula o datos? Dada una fórmula, como la que tiene, siempre puede usar splines más avanzadas donde también se tienen en cuenta los derivados de orden superior. También debe verificar el hecho de que la spline cúbica minimiza una determinada función de "energía". Mira wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Spline_interpolation . Entonces, en cierto sentido, la minimización de la curvatura, no puede ser mejor. Una interpretación alternativa es que las estrías cúbicas se usaron / se usan para el ajuste; no aproximando "Ajuste" implica una determinada métrica para ser optimizada.

— rrogers

@rrogers, estaba pensando que un polinomio de interpolación sería un mejor enfoque cuando se desea estimar la función a partir de muestras medidas y se sabe que el ancho de banda de la señal es inferior a 1/6 de la frecuencia de muestreo. Es

— Ted Ersek

\pm \infty

$\pm \infty$

\to \infty

$\to \infty$

@TedErsek Como una práctica aparte de abordar el comentario de Ted Ersek; ¿Has probado la aproximación polinómica racional? Por cierto: tengo la copia gratuita de un programa de estimación de fórmulas de curva de hace un año que realmente funciona bastante bien. El programa pasó de beta a pago, así que no tengo la versión actual.

— Rrogers

@JasonR Tenía la intención de dirigirle mi último comentario. Volviendo al tema, en cualquier caso, hay en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials que proporcionan aproximaciones de error uniformes (min / max) en polinomios si conoce la función. Pero si conoce la función, siempre puede sintetizar un "filtro coincidente".

— rrogers

El fenómeno que se discute es el fenómeno de Runge .

$n$ $\sin(\omega t)$ $\omega^n$ $\frac{1}{25t^2+1}$ $n$ $5^nn!,$ $n!$ $n$ $n$

Si una función solo tiene derivadas continuas, entonces el enfoque competitivo, la interpolación de splines polinomiales por partes siempre converge si un pequeño número fijo de sus derivadas tempranas está limitado en el intervalo de interés, vea el artículo de Wikipedia sobre interpolación lineal como ejemplo.

Si ambos métodos convergen, entonces la interpolación polinómica (no por partes) tiene la ventaja de un mayor grado polinómico si se usan muchas muestras, y puede proporcionar una mejor aproximación, como viste en tu ejemplo senoidal. También le puede interesar LN Trefethen, Dos resultados sobre la interpolación polinómica en puntos igualmente espaciados , Journal of Approximation Theory, Volumen 65, Número 3, junio de 1991, páginas 247-260. Citar:

$e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$ $0$ $n \to \infty$ $\alpha$

Tienes 6,5 muestras por longitud de onda.

— Olli Niemitalo
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