Filtrado adaptativo: longitud y retraso óptimos del filtro

Estoy tratando de encontrar la longitud de filtro óptima para un Filtrado Adaptativo, usando el Algoritmo RLS.

Estoy usando este diseño:

Entonces, la señal de "error" es la señal sin ruido (y esa es la señal que quiero).

Si tengo $e(n) = d(n)-y(n)$ pero $d(n)$ es mi señal deseada, necesito eso $e(n) \rightarrow 0$ entonces encuentro la longitud óptima del filtro (y el retraso) usando el criterio MSE, pero ahora tengo la señal que quiero como error, así que no sé cómo encontrar la longitud óptima del filtro, porque NO tengo idea de qué MSE tengo que llegar a la salida!

¿Alguien puede decirme qué debo hacer?

¡Gracias!

— Sin nombre
fuente

En general, esto parece una buena pregunta, pero su diagrama es confuso para mí. Por ejemplo, nunca eliminará la interferencia de banda estrecha utilizando la señal combinada para

d (n)

$d(n)$ ... ¿Fue esto intencional? Además, conoce la función de transferencia de su sistema

G (z) = z^{- Δ}

$G(z) = z^{-\Delta}$ Entonces, ¿por qué necesitas un filtro adaptativo?

— saltos

El filtro adaptativo filtra la señal que no está correlacionada con la entrada. Cuando agrega un retraso, el ruido retrasado no está correlacionado con el ruido original, pero el retraso

s (n)

$s(n)$ todavía está correlacionado con el original

s (n)

$s(n)$ Por eso se filtra el ruido. ¿No es así? Ese diseño es del MIT.

— Sin nombre

OK, ya veo, pero para que esto funcione la demora

Δ

$\Delta$ debe ser lo suficientemente grande como para que la señal deseada

s (n)

$s(n)$ no está correlacionado con la señal retardada en la entrada del filtro. En ese caso, el filtro predecirá la interferencia. Tenga en cuenta que no es el ruido (como escribió en el comentario) sino la señal deseada la que no debe estar relacionada con la señal retrasada.

— Matt L.

Sí, creo que tienes razón. Entonces la señal de error

e (n)

$e(n)$ es

e (n) = r (n)

$e(n) = r(n)$ ? Qué tan grande debe ser

Δ

$\Delta$ ?

— Sin nombre

No,

e (n) \approx s (n)

$e(n)\approx s(n)$ y

y (n) \approx r (n)

$y(n)\approx r(n)$ . El retraso

Δ

$\Delta$ debe elegirse de modo que la autocorrelación de la señal deseada sea (cercana a) cero para los retrasos

\geq Δ

$\ge\Delta$ tal que

s (n)

$s(n)$ deja de estar correlacionado con la entrada

f (n)

$f(n)$ al filtro Entonces la elección de

Δ

$\Delta$ depende de las propiedades de

s (n)

$s(n)$ .

— Matt L.

Para poder elegir un valor óptimo para el retraso $\Delta$ Es importante entender cómo funciona el sistema. El propósito de la demora es decorelar la señal deseada $s(n)$ y el componente de señal $s(n-\Delta)$ en la entrada del filtro adaptativo. Esto significa que $\Delta$ debe elegirse de modo que la autocorrelación $R_{ss}(k)$ de $s(n)$ es (cercano a) cero para retrasos mayores que $\Delta$ :

R_{s s} (k) \approx 0 0, El | k El | > Δ

$R_{ss}(k)\approx 0,\qquad |k|>\Delta$

Sin embargo, no podemos elegir $\Delta$ arbitrariamente grande porque la interferencia retardada en la entrada del filtro debe correlacionarse con la interferencia agregada a la señal, es decir, la autocorrelación $R_{rr}(k)$ de la interferencia aún debe ser significativa en un retraso de $\Delta$ , de lo contrario, el filtro adaptativo no puede predecir la interferencia. Si podemos asumir que $r(n)$ es de banda estrecha en comparación con $s(n)$ , siempre es posible encontrar un valor apropiado para $\Delta$ .

Con un valor apropiado para $\Delta$ , el filtro adaptativo intentará predecir la interferencia, es decir, intentará deshacer el efecto del retraso en la banda de frecuencia donde la interferencia tiene componentes de frecuencia significativos. Entonces la salida del filtro será aproximada $r(n)$ : $y(n)\approx r(n)$ . En consecuencia, la señal de error se aproximará a la señal deseada: $e(n)\approx s(n)$ .

Después de haber elegido un valor para $\Delta$ basado en la autocorrelación de $s(n)$ , la longitud del filtro debe elegirse por prueba y error. Un filtro largo proporcionará una mejor supresión a costa de una convergencia más lenta.

— Matt L.
fuente

Excelente respuesta como siempre, Matt.

— Jason R

¡Gracias Matt, entendí muchas cosas! Pero todavía tengo algunos problemas. Diciendo que

e (n) \approx s (n)

$e(n) \approx s(n)$ y

e (n)

$e(n)$ es el que veo en la Figura que pongo en la publicación principal, calculo la autocorrelación como:

R_{s s} = \sum_{n = 1}^{L} e (n) e * (n)

$R_{ss} = \sum_{n=1}^{L} e(n) e*(n)$ pero tengo algunos resultados que son un poco confusos: con la longitud del filtro

M = 50

$M=50$ Yo tengo:

Δ = 2 \to R = 0.1950 Δ = 5 \to R = 0.4566 Δ = 10 \to R = 0.1396 Δ = 11 \to R = 0.5913 Δ = 12 \to R = 0.0588 Δ = 13 \to R = 0.1.9348 Δ = 30 \to R = 0.7577

$\Delta=2 \rightarrow R=0.1950 \\ \Delta=5 \rightarrow R=0.4566 \\ \Delta=10 \rightarrow R=0.1396 \\ \Delta=11 \rightarrow R=0.5913 \\ \Delta=12 \rightarrow R=0.0588 \\ \Delta=13 \rightarrow R=0.1.9348 \\ \Delta=30 \rightarrow R=0.7577$

— Sin nombre

y si tomo

M = 20

$M=20$ yo tengo

Δ = 2 \to R = 0.2310 Δ = 5 5 \to R = 0,4435 Δ = 10 \to R = 0,9420 Δ = 30 \to R = 0.2.5122

$\Delta=2 \rightarrow R=0.2310 \\ \Delta=5 \rightarrow R=0.4435 \\ \Delta=10 \rightarrow R=0.9420 \\ \Delta=30 \rightarrow R=0.2.5122$ No se que hacer. No esperaba esos resultados: S

— Sin nombre

@Dylan: ¿Qué esperabas y qué intentas hacer?

— Matt L.

@MattL .: pensé que, para la misma longitud de filtro, tendría una autocorrelación menor cuando el retraso

Δ

$\Delta$ fue más grande Yo calculo

e (n)

$e(n)$ del diseño que mostré en la publicación principal, y retrasé esa señal en MATLAB así:

{mi}_{re mi l una y mi re} = z mi r o s (1, l mi norte sol t h (mi)); F o r yo = (Δ + 1) : L {mi}_{re mi l una y mi re} (yo) = mi (yo - Δ); mi norte re

$e_{delayed} = zeros(1,length(e)); \\ for \ i=(\Delta+1):L \\ e_{delayed}(i)=e(i-\Delta); \\ end$ y luego, para calcular la autocorrelación:

una tu t o C o r r = mi * {mi}_{re mi l una y mi re}^{'}

$autocorr=e*e_{delayed}'$

— Sin nombre