Intuición para lóbulos laterales en FFT

Me preguntaba si hay una manera intuitiva de entender por qué aparecen los lóbulos laterales cuando se realiza una FFT en una señal de longitud fija.

Tengo dos explicaciones con la intención de proporcionar una visión intuitiva adicional más allá de la explicación matemática concisa; primero, una explicación de la Expansión de la Serie Fourier junto con la idea de repetir la secuencia de dominio de tiempo truncado que muestra las discontinuidades implícitas que resultan, que requieren más componentes de frecuencia para reconstruir de lo que realmente existiría si la forma de onda no se truncara. Y segundo, una explicación de mirar el DFT como un banco de filtros no tan buenos.

Primera explicación: expansión de la serie de Fourier y periodicidad temporal

La Transformada de Fourier de una secuencia de tiempo limitado es idéntica a la Transformada de Fourier de una secuencia que es periódica para todos los tiempos.

Esto es cierto tanto para la Transformada de Fourier como para la Transformada discreta de Fourier y se conoce como la Propiedad de periodicidad del DFT:

Propiedad de periodicidad: dado el vector DFT de punto N X [k], con una muestra DFT inversa x [n], con k y n que varían de 0 a N-1; si n se encuentra fuera del rango de 0,1,2 ..., N-1, entonces

$x[n] = x[modulo(n,N)]$

Del mismo modo, dada una secuencia de tiempo de punto N x [n], con una DFT X [k], si k se encuentra fuera del rango de 0, 1,2, ..., N-1, entonces

$X[k] = X[modulo(k,N)]$

Para ayudar a obtener una comprensión intuitiva, una conclusión clave es que todo lo que se muestrea en un dominio se vuelve periódico en el otro dominio. Del mismo modo, cualquier cosa que sea periódica en un dominio, se muestrea (valor discreto) en el otro dominio. Aquí específicamente, "muestreado" significa que la señal solo existirá como valores distintos de cero en ubicaciones discretas en el dominio (flujo de impulsos).

Muestreo en un dominio -> Periodicidad en el otro dominio : considere el espectro de una onda de coseno analógica de 3 Hz antes y después del muestreo con un convertidor A / D. El espectro digital se puede ver como periódico; una vista en cilindro del espectro digital también es una vista válida para explicar la periodicidad, pero creo que esta extensión al dominio de frecuencia analógica (al hacer que la frecuencia se extienda a +/- infinito) ayuda a algunos a obtener una vista intuitiva del procesamiento de señal involucrado .

Periodicidad en un dominio -> Muestreo en el otro dominio : considere la expansión de la serie de Fourier como un ejemplo simple que demuestra esta propiedad. La expansión de la serie Fourier se realiza en un intervalo de dominio de tiempo finito de 0 a T. Cuando se descompone en componentes de frecuencia separados, las únicas frecuencias utilizadas son CC, la frecuencia fundamental 1 / T y múltiplos enteros de 1 / T (armónicos). En efecto, dado que las frecuencias solo pueden existir en múltiplos de 1 / T (y DC), se ha muestreado el dominio de frecuencia.

Además, si reconstruimos la forma de onda del dominio del tiempo, al sumar los componentes de frecuencia individuales, también podemos ver la periodicidad implícita en el dominio del tiempo si permitimos que los componentes de la frecuencia se extiendan más allá del intervalo de 0 a T. Esto se debe a esta periodicidad. que los componentes de frecuencia no pueden existir en otras frecuencias que no sean múltiplos de 1 / T (debido a la condición opuesta: si existieran, entonces no comenzarían y terminarían consistentemente en el intervalo de tiempo de 0 a T, y por lo tanto, la periodicidad no puede existir).

Es de esperar que comprender lo anterior ayude a proporcionar una explicación intuitiva de la fuga espectral. Así que ahora repetiré un punto principal:

La Transformada de Fourier de una secuencia de tiempo limitado es idéntica a la Transformada de Fourier de una secuencia que es periódica para todos los tiempos.

Fuga espectral con la vista " Expansión de la serie Fourier ":

Considere dos formas de onda sinusoidales en el intervalo de tiempo de 0 a T, el primero con un número entero de ciclos durante el intervalo de tiempo, y el segundo caso con un número de ciclos no entero.

Claramente en el caso 1 podemos ver con la vista de repetición que incluso repetir nuestra sinusoide pura sigue siendo una sinusoide pura, pero en el caso 2 nuestra sinusoide ahora sufre transiciones abruptas, y el uso de la vista de reconstrucción de la expansión de la serie Fourier requeriría varios componentes de frecuencia para reconstruir tal forma de onda en el dominio del tiempo.

Segunda explicación: Vista del banco de filtros del DFT

Otra explicación intuitiva para la fuga espectral (y ayuda significativamente a comprender el DFT en general) es lo que yo llamo la vista del banco de filtros del DFT. Para ver esto, considere un simple DFT de 4 puntos como se muestra en la figura a continuación y observe para cada contenedor, estamos rotando la señal de manera efectiva y luego pasando los valores rotados a través de un filtro FIR de ganancia de unidad de 4 toques. Para el primer contenedor, que corresponde a DC, no hay rotación, por lo que solo sumamos las cuatro muestras, y para los otros contenedores rotamos progresivamente a frecuencias más altas a medida que avanzamos por los contenedores DFT:

(Nota al margen: si realizamos un DFT de transmisión, donde calculamos un nuevo DFT de 4 puntos en una secuencia de 4 puntos mientras escaneamos a través de una forma de onda, sería exactamente un banco de filtros, pero independientemente de si lo hacemos o no, esto la vista ofrece una gran comprensión de la fuga espectral además de la convolución habitual de una función sinc en el dominio de frecuencia que revela la explicación matemática)

Ahora considere la respuesta de frecuencia para cada filtro FIR equivalente, usando los coeficientes dados en el DFT (por ejemplo, use freqz ([coeff]) en Matlab o Python) como se muestra en la figura a continuación:

Este es el punto principal: dado que cada filtro en la construcción del DFT es fundamentalmente un filtro FIR de ganancia unitaria , la forma de este filtro en frecuencia se aproxima a una función sinc a medida que la longitud del DFT se alarga (y es una función sinc alias para pequeño N). Entonces llamaremos a estos filtros de sinc y notaremos que un filtro de sinc tiene lóbulos laterales relativamente altos y tiene una envolvente que se despliega muy lentamente con frecuencia (a 1 / f para un sinc puro). Con los rotadores de fase en el DFT, solo movemos el lóbulo principal de este filtro de sinc a cada contenedor de interés, pero los lóbulos laterales que existen para cada contenedor permiten que las frecuencias en otras ubicaciones hagan que aparezca energía en este contenedor . La cantidad de fuga es completamente predicha por estos filtros.

Usando esta vista, considere una señal de tono único de entrada con una frecuencia que se encuentre entre dos intervalos de frecuencia como se muestra en la figura a continuación (una entrada que existe exactamente en cualquier contenedor tendrá un número entero de ciclos en el intervalo de dominio de tiempo y, por lo tanto, NO hay fuga espectral como mostramos anteriormente). El filtro superior muestra la amplitud en esta ubicación de frecuencia que se "filtrará" al primer contenedor. El segundo filtro muestra la amplitud (ligeramente más alta), el tercer bin (al que nuestra frecuencia está más cerca) tendrá la respuesta más alta y el cuarto bin será más bajo.

RESUMEN

He presentado dos explicaciones con la intención de proporcionar intuitivas adicionales.La comprensión más allá de la explicación matemática concisa de la multiplicación por una ventana rectangular en el dominio del tiempo es la convolución en el dominio de la frecuencia (y la fuga que vemos, por lo tanto, es el resultado de una función sinc que convoluciona en frecuencia con nuestra forma de onda de interés que truncamos en el tiempo) ; primero, una explicación de la Expansión de la Serie Fourier junto con la idea de repetir la secuencia de dominio de tiempo truncado que muestra las discontinuidades implícitas que resultan, que requieren más componentes de frecuencia para reconstruir de lo que realmente existiría si la forma de onda no se truncara. Y segundo, una explicación de mirar el DFT como un banco de filtros, y los filtros deficientes (específicamente los filtros de ganancia de unidad que se acercan a una respuesta de frecuencia de función sinc a medida que N aumenta).

Cuando sacas $N$ muestras de una sinusoide de una secuencia de muestras de mayor longitud (porque todo lo que puede hacer es pasar $N$muestras a la FFT), está aplicando una ventana. La ventana rectangular.

Las ventanas son multiplicaciones en el dominio del tiempo. La multiplicación en el dominio del tiempo corresponde a la convolución en el dominio de la frecuencia. Los lóbulos laterales que usted ve son el resultado de unir la Transformada de Fourier de la función de ventana con la línea espectral única que sería la Transformada de Fourier de la sinusoide.

Los vectores básicos de un DFT son todos enteros periódicos dentro del ancho de apertura DFT. Si su señal no es exactamente un número entero periódico dentro de su longitud fija, no puede representarse exacta y completamente por una sola frecuencia de vectores de base DFT. Si su señal se asemeja a una sinusoide, entonces a menudo está representada principalmente por un único bin de frecuencia de resultado DFT (además de su imagen espejo conjugada compleja para una entrada estrictamente real), pero dado que podría no ser una coincidencia exacta en frecuencia, la izquierda, no -la energía coincidente tiene que ser representada en algún lugar para que el resultado DFT represente completamente la señal. Esa energía sobrante va a los lóbulos laterales.

Si resta la sinusoide periódica de la mejor coincidencia pero exactamente entera de su señal, la diferencia (podría parecerse a un triángulo torcido delgado o corbata de lazo, pruébelo) es lo que representan o descomponen los lóbulos laterales.

La forma de los lóbulos laterales es un Sinc (o más precisamente, un núcleo periódico Sinc o Dirichlet), ya que esa es la transformación de la ventana rectangular que se obtiene en cualquier señal de longitud finita.

Estoy aprendiendo muy lentamente DSP y he pensado en preguntas similares. Espero que una explicación muy simple que te sea útil es:

Cada contenedor FFT representa exactamente una frecuencia específica. Por lo tanto, representar una frecuencia que no corresponde a la frecuencia exacta de un contenedor significa que debe estar entre dos contenedores, es decir, se untará en dos contenedores.

Cuando piensa en el hecho de que una FFT solo puede aplicarse a parte de la señal, generalmente hay una discontinuidad en cada extremo de la parte de la señal a la que aplica la FFT. Esto es más difícil de explicar simplemente, pero supongo que se podría pensar que obliga a las matemáticas a introducir una tonelada de ondas sinusoidales adicionales para modelar la discontinuidad y contaminar más contenedores (esto responde a la pregunta, el siguiente fragmento sobre las ventanas está a un lado) ), para mitigar esto, se utiliza una ventana para suavizar la discontinuidad en cada extremo pero en la extensión de cambiar la señal.

Cuando digo frecuencia, me refiero a la onda sinusoidal de una frecuencia dada, por lo que el análisis de Fourier supone que está pensando en su señal como una suma de ondas sinusoidales.