Cero, Primero, Segundo ... Retención de enésimo orden

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La función rectangular se define como:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

La función triangular se define como:

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$ es la convolución de dos funciones rectangulares unitarias idénticas:

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) d τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$ La retención de orden cero y la retención de primer orden utilizan estas funciones. De hecho, tiene:

x_{Z O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r e c t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$ para retención de orden cero y

x_{F O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r i (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$ para retención de primer orden. Como

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , me gustaría saber si esto es solo una coincidencia o si, para la retención de segundo orden, la respuesta al impulso es

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$ ¿Es cierto también para unaretencióngeneral deorden

k

$k$ ? A saber, poner

x_{K - T H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) g_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$ donde

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$ es la respuesta de impulso de laretención de orden

k

$k$ , me gustaría saber si su respuesta de impulso es

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ k veces

sampling interpolation

— marca
fuente

no he visto una referencia para un

retención de pedidos-ésimo para

. hubiera esperado que fuera la función

enredada consigo misma

veces. Pero no sé cuál es la definición.

k

$k$

k > 1

$k>1$

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$

k - 1

$k-1$

— Robert Bristow-Johnson

1

@ robertbristow-johnson: en analogía con una retención de orden cero (interpolación polinomial de orden cero, es decir, constante por partes) y una retención de primer orden (interpolación polinómica de primer orden, es decir, lineal por partes), una retención de orden n-ésima es una interpolación por partes por un polinomio de orden n. Se menciona aquí (p. 6).

— Matt L.

1

Estos y lo que @ robertbristow-johnson describe en su respuesta a continuación se llaman B-splines.

— Olli Niemitalo

¿Alguien puede mostrar con una matriz de imagen con factor 2, por favor? Y, no estoy muy claro sobre el factor aquí.

— user30462

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Este no es el caso. En primer lugar, una retención de segundo orden usaría tres puntos de muestra para calcular un polinomio de interpolación, pero su respuesta de impulso sugerida no es cero en un intervalo de tamaño (suponiendo un intervalo de muestra de , como lo haces en tu pregunta). Sin embargo, la respuesta al impulso correspondiente a una retención de segundo orden debe tener un soporte de longitud . $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ $4$ $T=1$ $3$

Ahora podría sugerir que una retención de orden podría tener una respuesta de impulso que es la convolución de funciones rectangulares. En este caso, obtendría el tamaño de soporte correcto, pero por supuesto eso no es suficiente. $n^{th}$ $n$

Una retención de orden calcula una interpolación por partes utilizando puntos de datos consecutivos. Esto está en analogía con una retención de orden cero usando un único punto de datos, y una retención de primer orden, que usa dos puntos de datos. Esta definición se usa comúnmente en la literatura (ver, por ejemplo, aquí y aquí ). $n^{th}$ $n+1$

Es fácil demostrar que el segundo orden polinomio que interpola tres puntos de datos , , y está dada por $y[-1]$ $y[0]$ $y[1]$

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

Para encontrar la respuesta al impulso logrando la interpolación dada por , tenemos que equiparar con la expresión $(1)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

Si elegimos el soporte de la respuesta de impulso como el intervalo , que es equivalente a elegir el intervalo de interpolación , igualar y da como resultado el siguiente impulso respuesta de una retención de segundo orden: $h(t)$ $[-1,2]$ $[0,1]$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < t < 0 \\ 1 - t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{1}{2} (t - 1) (t - 2), & 1 < t < 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

La respuesta al impulso de una retención de segundo orden se ve así: $(3)$

Les dejo que demuestren que esta respuesta de impulso no puede generarse al combinar tres funciones rectangulares entre sí.

— Matt L.
fuente

Matt, ¿puedes proporcionar una referencia para tu representación de lo que es una retención de segundo orden? Estoy 100% convencido de que la trama está mal.

— robert bristow-johnson

Yo corregí la ecuación. (1) (suponiendo que la premisa es correcta). te lo dejaré a ti reflejar eso en

.

h (t)

$h(t)$

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson: Deshice su edición, porque su "corrección" fue incorrecta. Mi ecuación da

, como debería ser el caso; el tuyo da

. Te lo dejaré a ti para que reflejes por qué esto está mal.

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$

— Matt L.

Estoy corregido sobre la "corrección". Perdí la cuenta del número de signos menos. (en realidad estaba pensando que

que está apagado por un signo menos. Hice un poco más de mirar alrededor. Nadie parece ser particularmente explícito.

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$

— Robert Bristow-Johnson

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así que por eso creo que una retención de orden es un $n$ enredado contra sí mismoveces. $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ $n$

Wikipedia no es la referencia final de todas las cosas, pero hay algo que olí desde allí. considere el muestreo y la reconstrucción (la fórmula de Shannon Whittaker). si la entrada original con límite de banda es y las muestras son esa entrada con banda se puede reconstruir a partir de las muestras con $x(t)$ $x[n]\triangleq x(nT)$

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

cuál es la salida de un filtro de ladrillo ideal con respuesta de frecuencia:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

cuando es conducido por la función idealmente muestreada

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

$x_\text{s}(t)$ $H(f)$ $x(t)$ $T$ $H(f)$ $1$

eso significa que la respuesta al impulso de este filtro de ladrillo ideal es

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

$x(t)$

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

$h(t)$

$x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

y se puede modelar como un filtro con respuesta de impulso

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

$x_\text{s}(t)$

x_{DAC} (t) = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

y la respuesta de frecuencia del filtro de reconstrucción implícito es

\begin{aligned} H_{ZOH} (f) & = F^{- 1} {h_{ZOH} (t)} \\ = \frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{j π f T} sinc (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

tenga en cuenta el retraso constante de media muestra en esta respuesta de frecuencia. de ahí viene la retención de orden cero .

$x_\text{s}(t)$

$x_\text{DAC}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$

$\frac{1}{j 2 \pi f T}$ $x[n] - x[n-1]$ $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

$(1 - z^{-1})$ $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$

\begin{aligned} H_{FOH} (f) & = F^{- 1} {h_{FOH} (t)} \\ = {(\frac{1 - e^{j 2 π f T}}{j 2 π f T})}^{2} \\ = e^{j 2 π f T} {sinc}^{2} (f T) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

la respuesta impulsiva de esto es

\begin{aligned} h_{FOH} (t) & = F {H_{FOH} (f)} \\ = (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) ⊛ (rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})) \\ = \frac{1}{T} tri (\frac{t - T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

$e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$

— robert bristow-johnson
fuente

Esto finalmente convergerá a una respuesta de impulso gaussiana, y no puedo tener mucho sentido intuitivo de esto. Creo firmemente que una retención de orden n es, en analogía completa con ZOH y FOH, un interpolador polinomial de orden n. Comparto esta opinión con varios otros autores: por ejemplo, estos y este . No he visto tu interpretación de un enésimo orden en ningún otro lugar.

— Matt L.

n

$n$

n + 1

$n+1$

n

$n$

(n - 1)

$(n-1)$

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Otra pregunta fue marcada como un duplicado de esto. Allí se preguntó también qué es la retención poligonal . La retención poligonal y la misma parecen ser sinónimos de interpolación lineal, donde los "puntos están conectados" en lugar de que la salida parezca una sierra como en la retención predictiva de primer orden. Conectar las muestras con líneas requiere conocer de antemano la siguiente muestra para que la línea pueda orientarse en la dirección correcta. En el contexto de los sistemas de control en tiempo real donde las muestras no se conocen de antemano, significa que la salida debe retrasarse un período de muestreo para que las líneas se conecten a las muestras.

La retención polinómica (no retención poligonal) incluye tanto la retención de orden cero como la retención de primer orden.

— Olli Niemitalo
fuente