Transformación rápida de coseno a través de FFT

Quiero implementar la transformación rápida de coseno. Leí en Wikipedia , que hay una versión rápida de DCT que se calcula de manera similar a la FFT. Traté de leer el documento citado de Makhoul *, para las implementaciones FTPACK y FFTW que también se usan en Scipy , pero no pude extraer el algoritmo real. Esto es lo que tengo hasta ahora:

Código FFT:

def fft(x):
    if x.size ==1:
        return x
    N = x.size
    x0 = my_fft(x[0:N:2])
    x1 = my_fft(x[0+1:N:2])
    k = numpy.arange(N/2)
    e = numpy.exp(-2j*numpy.pi*k/N)
    l = x0 + x1 * e
    r = x0 - x1 * e  
    return numpy.hstack([l,r])

Código DCT:

def dct(x):
    k = 0
    N = x.size
    xk = numpy.zeros(N)
    for k in range(N):     
        for n in range(N):
            xn = x[n]
            xk[k] += xn*numpy.cos(numpy.pi/N*(n+1/2.0)*k)
    return xk 

Prueba de FCT:

def my_fct(x):
    if x.size ==1:
        return x
    N = x.size
    x0 = my_fct(x[0:N:2]) # have to be set to zero?
    x1 = my_fct(x[0+1:N:2])
    k = numpy.arange(N/2)
    n = # ???
    c = numpy.cos(numpy.pi/N*(n+1/2.0)*k)
    l = x0 #???
    r = x0 #???
    return numpy.hstack([l,r])

* J. Makhoul, "Una transformación rápida del coseno en una y dos dimensiones", IEEE Trans. Acust. Speech Sig. Proc. 28 (1), 27-34 (1980).

He estado leyendo sobre esto y hay varias formas de hacerlo, usando diferentes tamaños N. Mi Matlab está oxidado, así que aquí están en Python ( Nes la longitud de la señal de entrada x, kes arange(N)= ):$[0, 1, 2, ..., N-1]$

Tipo 2 DCT usando 4N FFT y sin turnos

La señal se [a, b, c, d]convierte

[0, a, 0, b, 0, c, 0, d, 0, d, 0, c, 0, b, 0, a].

Luego toma la FFT para obtener el espectro

[A, B, C, D, 0, -D, -C, -B, -A, -B, -C, -D, 0, D, C, B]

luego tira todo menos el primero [A, B, C, D], y listo:

u = zeros(4 * N)
u[1:2*N:2] = x
u[2*N+1::2] = x[::-1]

U = fft(u)[:N]
return U.real

Tipo 2 DCT usando 2N FFT reflejado (Makhoul)

[a, b, c, d]se convierte [a, b, c, d, d, c, b, a]. Tome la FFT de eso para obtener [A, B, C, D, 0, D*, C*, B*], luego deseche todo pero [A, B, C, D]multiplíquelo por $e^{-j \pi k \over 2 N}$ ( desplazamiento de media muestra ) para obtener el DCT:

y = empty(2*N)
y[:N] = x
y[N:] = x[::-1]

Y = fft(y)[:N]

Y *= exp(-1j*pi*k/(2*N))
return Y.real

Tipo 2 DCT usando 2N FFT acolchado (Makhoul)

[a, b, c, d][a, b, c, d, 0, 0, 0, 0][A, B, C, D, E, D*, C*, B*][A, B, C, D]$2e^{-j \pi k \over 2 N}$

y = zeros(2*N)
y[:N] = x

Y = fft(y)[:N]

Y *= 2 * exp(-1j*pi*k/(2*N))
return Y.real

Tipo 2 DCT usando N FFT (Makhoul)

[a, b, c, d, e, f][a, c, e, f, d, b][A, B, C, D, C*, B*]$2 e^{-j \pi k \over 2N}$

v = empty_like(x)
v[:(N-1)//2+1] = x[::2]

if N % 2: # odd length
    v[(N-1)//2+1:] = x[-2::-2]
else: # even length
    v[(N-1)//2+1:] = x[::-2]

V = fft(v)

V *= 2 * exp(-1j*pi*k/(2*N))
return V.real

En mi máquina, todos estos tienen aproximadamente la misma velocidad, ya que la generación exp(-1j*pi*k/(2*N))lleva más tiempo que la FFT. :RE

In [99]: timeit dct2_4nfft(a)
10 loops, best of 3: 23.6 ms per loop

In [100]: timeit dct2_2nfft_1(a)
10 loops, best of 3: 20.1 ms per loop

In [101]: timeit dct2_2nfft_2(a)
10 loops, best of 3: 20.8 ms per loop

In [102]: timeit dct2_nfft(a)
100 loops, best of 3: 16.4 ms per loop

In [103]: timeit scipy.fftpack.dct(a, 2)
100 loops, best of 3: 3 ms per loop

$x(n)$

dejar

$y(n) = \Bigl\lbrace \begin{array}{ll} x(n), & n=0,1,...,N-1\\ x(2N - 1 - n), & n=N,N+1,...,2N-1 \end{array}$

El DCT es dado por

$C(k) = \mathrm{Re}\Bigl\lbrace e^{-j\pi \frac{k}{2N}} FFT\lbrace y(n)\rbrace\Bigr\rbrace$

Entonces básicamente creas el $2N$ secuencia de longitud $y(n)$ donde es la primera mitad $x(n)$ y la segunda mitad es $x(n)$invertido Luego, tome la FFT y multiplique ese vector por una rampa de fase. Finalmente, tome solo la parte real y tendrá el DCT.

Aquí está el código en MATLAB.

function C = fdct(x)
    N = length(x);
    y = zeros(1,2*N);
    y(1:N) = x;
    y(N+1:2*N) = fliplr(x);
    Y = fft(y);
    k=0:N-1;
    C = real(exp(-j.* pi.*k./(2*N)).*Y(1:N));

Editar:

Nota: La fórmula DCT que está usando es:

$C(k) = 2\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cos\left(\frac{\pi k}{2N}(2n+1) \right)$

Hay varias formas de escalar la suma para que no coincida exactamente con otras implementaciones. Por ejemplo, MATLAB usa:

$C(k) = w(k)\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cos\left(\frac{\pi k}{2N}(2n+1) \right)$

dónde $w(0) = \sqrt\frac{1}{N}$ y $w(1...N-1) = \sqrt{\frac{2}{N}}$

Puede dar cuenta de esto escalando adecuadamente la salida.

Para la verdadera computación científica, la cantidad de uso de memoria también es importante. Por lo tanto, el punto N FFT es más atractivo para mí. Esto solo es posible debido a la simetría hermitiana de la señal. La referencia de Makhoul se da aquí. Y en realidad tiene el algoritmo para calcular DCT e IDCT o DCT10 y DCT01.
http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/1163351/