¿La transformada de Laplace es redundante?

La transformada de Laplace es una generalización de la transformada de Fourier, ya que la transformada de Fourier es la transformada de Laplace para (es decir, es un número imaginario puro = cero parte real de ). $s = j\omega$ $s$ $s$

Recordatorio:

Transformada de Fourier: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Transformada de Laplace: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

Además, una señal se puede reconstruir exactamente a partir de su transformada de Fourier y de su transformada de Laplace.

Dado que solo se necesita una parte de la transformación de Laplace para la reconstrucción (la parte para la cual ), el resto de la transformación de Laplace ( ) parece ser inútil para la reconstrucción ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

¿Es verdad?

Además, ¿se puede reconstruir la señal para otra parte de la transformación de Laplace (por ejemplo, para o )? $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

¿Y qué sucede si calculamos una transformada de Laplace de una señal, luego cambiamos solo un punto de la transformada de Laplace y calculamos la transformación inversa: volvemos a la señal original?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
fuente

¿Por qué el voto negativo? Incluso si la pregunta puede contener conclusiones falsas, es algo con lo que puede lidiar muy bien en un comentario o una respuesta. Votar en silencio una pregunta en la que aparentemente alguien hizo un esfuerzo no es muy constructivo.

— Jazzmaniac

Voté la pregunta. si estoy pensando en términos de frecuencia angular , entonces me gusta decir Transformada de Fourier: y Laplace Transform: . entonces está bastante claro que son lo mismo (más o menos).

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— robert bristow-johnson

La transformación de Fourier y Laplace obviamente tiene muchas cosas en común. Sin embargo, hay casos en los que solo se puede usar uno de ellos, o donde es más conveniente usar uno u otro.

En primer lugar, aunque en las definiciones simplemente reemplace por o viceversa para pasar de una transformación a otra, esto generalmente no se puede hacer cuando se da la transformación de Laplace o la transformación de Fourier de una función. (Uso diferentes índices porque las dos funciones pueden ser diferentes para la misma función de dominio de tiempo). Hay funciones para las que solo existe la transformación de Laplace, por ejemplo, , , donde es la función de paso Heaviside. La razón es que la integral en la definición de la transformación de Laplace solo converge para $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$ , lo que implica que la integral correspondiente en la definición de la transformada de Fourier no converge, es decir, la transformada de Fourier no existe en este caso.

Hay funciones para las que existen ambas transformaciones, pero . Un ejemplo es la función , para la cual la transformada de Fourier contiene impulsos delta de Dirac. $X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

Finalmente, también hay funciones para las que solo existe la transformada de Fourier, pero no la transformada de Laplace. Esto significa que la integral en la definición de la transformación de Laplace solo converge (en un sentido específico) para , pero no para otros valores de . Solo se dice que la transformación de Laplace existe si la integral converge en un semiplano o en una franja vertical de tamaño finito del plano complejo . Dichas funciones para las que solo existe la transformada de Fourier incluyen exponenciales complejos y sinusoides ( ) y respuestas de impulso de filtros de pared de ladrillo ideales, que están relacionados con la función sinc. Entonces, por ejemplo, las funciones o $s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$ no tienen una transformada de Laplace pero sí tienen una transformada de Fourier.

La transformación de Laplace puede ser una herramienta conveniente para analizar el comportamiento de los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) al considerar su función de transferencia, que es la transformación de Laplace de su respuesta al impulso. Los polos y ceros de la función de transferencia en el plano complejo caracterizan convenientemente muchas propiedades del sistema y son útiles para una comprensión intuitiva del comportamiento del sistema. Además, la transformación unilateral de Laplace es muy útil para analizar sistemas LTI con condiciones iniciales distintas de cero. La transformación de Fourier es una herramienta útil para analizar sistemas ideales (no causales, inestables), como los filtros ideales de paso bajo o paso de banda. $s$

También eche un vistazo a esta respuesta a una pregunta relacionada.

— Matt L.
fuente

La transformación de Fourier es una herramienta útil para analizar sistemas ideales (no causales, inestables): ¿diría que causales y estables?

— Vinz

@ user17604: quise decir lo que escribí. Por supuesto, también puede usarlo para sistemas causales y estables (y no ideales). Pero un uso importante es el análisis del sistema ideal (como los filtros selectivos de frecuencia ideales), donde la transformación de Laplace no se puede usar.

— Matt L.

@MattL. Gran respuesta, pero me pareció confuso “analizar sistemas LTI con condiciones iniciales distintas de cero”, ¿cómo puede un sistema LTI tener condiciones iniciales distintas de cero?

@ 0MW: Sí, probablemente debería haber dicho "sistemas que de otro modo son LTI (si inicialmente están en reposo)".

— Matt L.