Propiedades estadísticas de las estimaciones de Kalman bajo ruido gaussiano

Para un modelo de espacio de estado lineal con estado de Gauss independiente y ruidos de salida y conjetura perfecta para el estado inicial, las estimaciones de Kalman tienen las siguientes propiedades: dónde

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

$x_k$ es el estado en el tiempo , que es aleatorio $k$
$\hat{x}_{k|k}$ y son elementos esenciales de Kalman, es decir, salidas del filtro de Kalman. $P_{k|k}$

¿Hay referencias que mencionen estos?

¡Gracias!

kalman-filters

— Tim
fuente

¿Es la matriz de covarianza estimada a posteriori en el tiempo ? No se utiliza realmente una notación estándar, por lo que no está completamente claro lo que quiere decir con "estimaciones de Kalman".

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

— Jason R

@ Jason: sí, lo es ...

— Tim

Respuestas:

Las siguientes dos declaraciones son equivalentes a decir:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) Que el estimador es imparcial ; y

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) Que el estimador es consistente .

Ambas condiciones son necesarias para que el filtro sea óptimo , es decir, la mejor estimación posible de con respecto a algunos criterios. $\mathbf{x}_{k|k}$

Si (1) no es cierto, entonces el error cuadrático medio (MSE) sería el sesgo más la varianza (en el caso escalar). Claro, esto es mayor que la varianza solamente y, por lo tanto, subóptimo.

Si (2) no es verdadero (es decir, la covarianza calculada por filtro es diferente a la covarianza verdadera), entonces el filtro también será subóptimo. Dado que la ganancia de Kalman se basa en la covarianza de estado calculada, un error en la covarianza conducirá a un error en la ganancia. Error en la ganancia significa una ponderación subóptima de las mediciones.

(Como sucede, ambas condiciones son verdaderas para un filtro modelado correctamente. Los errores en el modelado, como el modelo dinámico o las covarianzas de ruido también harán que el filtro sea subóptimo).

Fuente: Bar-Shalom , especialmente la Sección 5.4 en la página 232-233.

— Damien
fuente

$x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

Antecedentes

$x_k$ $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

Como referencia: el propio papel de Kalman:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— aiao
fuente

Que yo sepa, es un proceso aleatorio. La varianza de viene dada por el ruido del proceso. Para una realización dada, es determinista.

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

— Royi

@Drazick El ruido del proceso generalmente recibe el símbolo w, con la varianza Q. xk es el estado del sistema, no tendría ningún sentido que los estados sean aleatorios; la estimación por el otro, al ser una variable aleatoria, lo hace tiene sentido

— aiao

Estoy confundido: ¿Cómo puede ser determinista si se (que es estocástico) para formarlo? La única forma en que puede ser determinista es si el componente estocástico es cero, ¿sí?

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

— Peter K.

@PeterK. porque asume una realización definitiva en cada

w

$w$

k

$k$

— aiao

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$