aplicabilidad de la detección comprimida

Por lo que he escuchado, la detección comprimida solo se puede utilizar para una señal dispersa. ¿Es esto correcto?

Si ese es el caso, ¿cómo se puede distinguir una señal dispersa de cualquier señal de banda limitada? Cada señal puede expandirse para incluir una parte de señal dispersa o de coeficiente cero de lo que se convierte en señal dispersa en ese caso.

Además, ¿la detección comprimida todo el tiempo recupera información o señal perfectamente?

Agregado: por cierto, recién comencé a aprender estas cosas, por lo que el propósito de esta pregunta es probar un poco de lo que son estas cosas.

Como dijo @sansuiso, la detección comprimida es una forma de adquirir señales que resultan eficientes si las señales son dispersas o compresibles.

La detección comprimida es eficiente porque las señales se multiplexan, por lo tanto, el número de muestras multiplexadas (llamadas mediciones) es menor que el número de muestras requeridas por Shannon-Nyquist donde no hay suposiciones fuertes sobre la señal.

En el caso silencioso, se puede demostrar que el solucionador de reconstrucción de detección de compresión puede recuperar una solución exacta.

En el caso compresible, a diferencia del caso estrictamente disperso, se puede demostrar que el error de reconstrucción está acotado.

Y sí, la mayoría de las señales, incluidos los ultrasonidos, son de alguna manera dispersas o compresibles. En general, se trata de descifrar el diccionario donde la señal es escasa. Los expertos en dominios generalmente saben estas cosas.

La pregunta interesante que tiene es: Imagine que tiene una señal no dispersa y luego agregue ceros para que sea dispersa y luego use la detección comprimida para muestrear esa señal, ¿no sería mejor que muestrear directamente la señal completa?

La respuesta es no.

Resulta que los requisitos de muestreo para los que CS trabaja requieren más información que simplemente realizar un muestreo completo de la señal original (completa / no cero). En otras palabras, el número de mediciones CS requeridas sería mayor que el número de elementos distintos de cero en las señales. Al esparcir la señal, está "perdiendo" a propósito la información sobre dónde se admite la señal (es decir, no es cero). La parte difícil de los sensores de compresión y los solucionadores de reconstrucción concomitantes es encontrar esa ubicación donde viven esos elementos distintos de cero de la señal: si conoce de antemano las ubicaciones de esos elementos distintos de cero, entonces no hay necesidad de recurrir a un método menos eficiente de muestreando esa señal. De hecho, encontrar la ubicación de los elementos distintos de cero de una señal es la razón por la que hablamos de que la detección de compresión es NP-Hard,

Permítanme decirlo de otra manera: supongamos que una señal tiene K componentes distintos de cero. Si conoce la ubicación de estos elementos K, solo necesita información K para conocer su señal. Si agrega ceros en cualquier lugar de la señal y hace que la señal sea de tamaño N, ahora necesita muestrear la señal N veces a través del muestreo tradicional u O (Klog (K / N)) veces con un enfoque de detección de compresión. Desde O (Klog (K / N)> K, perder la información sobre la ubicación de los elementos que no son ceros ha dado como resultado un conjunto más grande de muestras / medidas.

Puede que le interese leer mi pequeño blog sobre el tema: http://nuit-blanche.blogspot.com/search/label/CS y el siguiente recurso: http://nuit-blanche.blogspot.com/p/teaching -compressed-sensing.html

Aquí hay dos cosas: escasez y detección comprimida .

La dispersión es una hipótesis general, simplemente afirmando que la mayor parte de la energía de una señal se almacena en un pequeño número de coeficientes en el buen estado. Esto es bastante intuitivo, mirando transformaciones de Fourier o transformaciones wavelet. Probablemente sea cierto para cualquier señal de interés (imagen, sonido ...) y explica por qué funciona la compresión JPEG o MP3.

Citando a JL Starck en el ICIP'11 (durante las preguntas después de su charla plenaria):

La detección comprimida es un teorema.

Lo que quiere decir es que la detección comprimida es un conjunto de resultados que le garantiza que una señal dispersa puede recuperarse exactamente con muy pocas mediciones, siempre que tenga una buena matriz de detección, es decir, sus mediciones tienen algunas buenas propiedades (alguien me explicó eso como una especie de detección multiplexada ). Los algoritmos de reconstrucción utilizan la escasez de la señal como información adicional durante el proceso de reconstrucción, generalmente al minimizar la norma L1 de la señal en alguna base de wavelet (recuerde que el problema de recuperación con restricción de la norma L0 generalmente no es solucionable, porque es NP- difícil).

No soy un experto en detección comprimida, pero estoy familiarizado con él.

Escuché en alguna parte que la detección comprimida solo se puede utilizar para una señal dispersa. ¿Es esto correcto?

No, se puede usar en cualquier lugar, pero como dijo Dilip, solo tiene sentido para señales dispersas. Si la señal no es escasa, entonces no hay razón para no hacer un muestreo estándar de Nyquist, ya que será eficiente.

¿Y cómo puede distinguir una señal dispersa de cualquier señal de banda limitada?

Aunque estoy seguro de que existen definiciones formales de "escasez" (y probablemente tampoco sean las mismas), no conozco una definición formal. Lo que la gente entiende por escasez tiende a cambiar según el contexto.

Yo diría que una señal dispersa es cualquier señal que tiene un contenido de información mucho menor (usando la definición de la teoría de la información de la palabra) de lo que podría tener si fuera continuo y utilizara completamente su rango de frecuencia. ¿Cuáles son algunos ejemplos de señales dispersas? Señales de salto de frecuencia. Señales de ráfaga. Una señal AM de walkie-talkie que se transmite continuamente incluso si nadie está hablando.

Cada señal puede expandirse para incluir una parte de señal dispersa o de coeficiente cero .......

¿Qué, como decir que la señal tiene 100 MHz de ancho incluso si solo tiene 1 MHz de ancho? Puedes definir las cosas para que sean lo que quieras, al igual que los astrónomos de antaño pudieron hacer funcionar las matemáticas del sol que orbitaban la Tierra. Eso no significa que sus ecuaciones fueran útiles.

¿Y la detección comprimida todo el tiempo recupera información o señal perfectamente?

La detección comprimida es una técnica. Como cualquier técnica (incluido el muestreo de Nyquist) tiene condiciones. Si cumple con las condiciones, use buenos extractores de funciones para la señal que está tratando de detectar, funcionará bien. Si no lo haces, no lo hará. Ninguna técnica extrae señales perfectamente en nada fuera de un modelo teórico. Sí, estoy seguro de que hay señales teóricas que la detección comprimida puede extraer perfectamente.

No es que funcione solo para señales dispersas, pero ha encontrado el dominio en el que la señal es casi dispersa (todas las señales que ocurren naturalmente serán dispersas en algún dominio, excepto el ruido aleatorio). En algunos dominios la señal puede se aproximará con menos mediciones, todas las demás mediciones serán relativamente pequeñas para que pueda descartarlas con seguridad.