Significado de la parte real e imaginaria de la transformada de Fourier de una señal

Digamos que es una señal de tiempo , es la transformada de Fourier de la variable . $f$ $t$ $F$ $v$

Se sabe que en coordenadas polares, nos dice cuánto está presente la frecuencia sobre la señal, y nos dice cuánto se cambia la fase de la contribución de esta frecuencia. $|F(v)|$ $v$ $Arg(F(v))$

¿Qué información nos dice su parte real e imaginaria?

O si reformulo mi pregunta: ¿podemos dar una interpretación de la transformada de Fourier en coordenadas cartesianas como podemos hacer en coordenadas polares?

fourier-transform

— usuario2682877
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Respuestas:

Las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier de una señal son las transformadas de Fourier de las partes pares e impares de la señal, respectivamente: $x(t)$

X_{R} (ω) = \frac{1}{2} [X (ω) + X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2} [x (t) + x^{*} (- t)] = x_{e} (t) X_{I} (ω) = \frac{1}{2 j} [X (ω) - X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2 j} [x (t) - x^{*} (- t)] = - j \cdot x_{o} (t)

$X_R(\omega)=\frac12[X(\omega)+X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac12[x(t)+x^*(-t)]=x_e(t)\\ X_I(\omega)=\frac{1}{2j}[X(\omega)-X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac{1}{2j}[x(t)-x^*(-t)]=-j\cdot x_o(t)$

$X_R(\omega)$ $X_I(\omega)$ $X(\omega)$ $x_e(t)$ $x_o(t)$ $x(t)$

— Matt L.
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Lamento ser denso, pero todavía no lo entiendo. ¿Qué quiere decir con "partes pares e impares" de una señal? (Tampoco estoy seguro de lo que significa la doble flecha en su notación.)

— natevw

Actualización: tal vez esto tenga algo que ver con funciones pares e impares, como se describe aquí: cs.unm.edu/~williams/cs530/symmetry.pdf ?

— natevw

x (t) = x_{e} (t) + x_{o} (t)

$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

x_{e} (t)

$x_e(t)$

x_{o} (t)

$x_o(t)$

Gracias, eso aclara su respuesta combinada con las diapositivas de introducción de la presentación de "simetría" que he vinculado anteriormente.

— natevw

¿Y qué es j en la parte imaginaria / impar?

— sssheridan

Si hay frecuencias iguales pero una es negativa de la otra, se cancelarán y habrá cero señal imaginaria.

— Gamaliel
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-1

$e^{j\omega t}$ $\omega$

— Seetha Rama Raju Sanapala
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Si bien su punto sobre la parte resistiva / parte reactiva en los sistemas lineales puede ser realmente interesante, en la forma actual, su respuesta es desordenada y difícilmente comprensible. Lo estoy votando a favor

— Antoine Bassoul